Gibbssches Phänomen

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Gibbssches Phänomen bei einer Rechteckskurve

Als Gibbssches Phänomen oder „Ringing“ bezeichnet man in der Mathematik das typische Verhalten von Fourierreihen in der Umgebung von Sprungsstellen. Entwickelt man eine Fourierreihe aus einer unstetigen Funktion, so ergeben sich an den Unstetigkeitsstellen typische Über- und Unterschwinger, die sich auch dann nicht verringern, wenn man versucht, die Funktion noch besser zu approximieren. Dies liegt daran, dass die Reihe an der Unstetigkeitsstelle nicht mehr gleichmäßig, sondern nur punktweise konvergiert.

Die Höhe des Überschwingers in einer Richtung lässt sich bestimmen zu:

$\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \frac{\sin t}{t}\, dt - \frac{1}{2} = 0{,}089490\dots$

womit sich ein prozentueller Fehler von 17,898%, gerundet 18%, der Sprunghöhe ergibt.

Der Effekt wurde nach seinem Entdecker, dem amerikanischen Physiker Josiah Willard Gibbs, benannt.

[Bearbeiten] Ringing in der Datenkompression

In der Praxis bedeutet das etwa für die Bildkompression, dass sich ein Bild, das harte Farbübergänge aufweist (wie etwa bei Text, Strichzeichnungen oder einfachen Diagrammen), nur sehr schlecht mit verlustbehafteten Verfahren wie JPEG komprimieren lässt. Um ein derartiges Bild ohne sichtbare Ringing-Artefakte zu komprimieren, wäre eine sehr hohe Qualitätsstufe notwendig, was zu einer wesentlich größeren Datei als bei verlustfreier Komprimierung führen würde. Es wird daher empfohlen, für derartige Bilder verlustfreie Grafikformate wie PNG zu verwenden.


Ein hochfrequentes Bild Dateigröße mit PNG: 1007 Byte		Das gleiche Bild JPEG-komprimiert; es entstehen Ringing-Artefakte Dateigröße: 4273 Byte		Vergrößerung des JPEG-komprimierten Bildes

Die Ringing-Artefakte lassen sich durch bestimmte Grafikfilter, etwa den Lanczos-Filter, teilweise reduzieren. Diese Methode, manchmal „Deringing“ genannt, wird z. B. bei einigen neueren Video-Decodern eingesetzt.

[Bearbeiten] Ringing in der Elektrotechnik

In (digitalen) elektronischen Schaltungen können bei steilen Signalflanken die oben beschriebenen Über- und Unterschwingungen auftreten, auch „Overshoots“ und „Undershoots“ genannt. Diese Schwingungsneigung kann durch unzureichende Anpassung der Schaltung an den Wellenwiderstand entstehen. Overshoots können zu einer Zerstörung von elektronischen Bauelementen führen.

„Ringing“ ist auch der englische Ausdruck für Mikrofonie, das Mitschwingen von Bauteilen, welches beim elektronischen Verstärken zu Störungen führt.