Fraktale Geometrie
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Fraktale Geometrie (von lat. fractus = gebrochen) bezeichnet ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit den geometrischen Eigenschaften von Objekten beschäftigt, die eine hohe Selbstähnlichkeit aufweisen. Während in der euklidischen Geometrie nur ganzzahlige Dimensionen vorkommen, können bei solchen Körpern oder Mengen auch reelle Dimensionen vorkommen.
In der Fraktalen Geometrie wird daher mit verallgemeinerten Begriffen der Dimension (der Hausdorff-Dimension oder Minkowski-Dimension) gearbeitet, die auch reelle Werte annehmen kann.
Ein solches Objekt mit gebrochener Dimension und hoher Selbstähnlichkeit wird als Fraktal bezeichnet. Zu den wichtigsten Persönlichkeiten in Verbindung mit der Fraktalen Geometrie gehören die Mathematiker Benoît B. Mandelbrot, Waclaw Sierpinski, Gaston Julia.
[Bearbeiten] Fraktaler Dimensionsbegriff
Der fraktale Dimensionsbegriff deckt sich in dem Fall der euklidischen Geometrie mit dem klassischen Dimensionsbegriff, ist aber auf fraktale Mengen ausgeweitet. So entspricht der fraktale Dimensionsbegriff einer Verallgemeinerung des Dimensionsbegriffs. Man definiert z. B. die Minkowski-Dimension indem man zu einer vorgegeben Kugel vom Radius r, die kleinsmögliche Anzahl bestimmt von Kugeln, die die betrachtete fraktale Menge überdecken. Dann berechnet man das logaritmierte Verhältnis von Anzahl zu Radius. Dann muss man den Limes betrachten, wenn der Radius gegen Null geht. Zur Hausdorff-Dimension schaut man am besten einfach unter dem Link nach.
[Bearbeiten] Beispiele
Die Schneeflockenkurve, oder auch Koch's Kurve genannt, hat die Minkowski-Dimension: dim[Mink] = log(4)/log(3) ~ 1,2618595... , da man mit je 4 Kugeln des Radius 1/3, die Kurve erster Stufe überdeckt. Die Cantormenge hat die Minkowski-Dimension: dim[Mink] = log(2)/log(3)
