Julia-Menge

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Animierter Zoom

3D-Schnitt einer quaternionischen 4D-Julia-Menge

Teppich der Ränder einiger Julia–Mengen

Die Julia-Mengen, erstmals von Gaston Maurice Julia beschrieben, sind Teilmengen der komplexen Zahlenebene, wobei zu jeder holomorphen oder meromorphen Funktion eine Julia-Menge gehört. Oft sind die Julia-Mengen fraktale Mengen.

Inhaltsverzeichnis

1 Julia-Mengen von quadratischen Polynomen
2 Beziehung zur Mandelbrot-Menge
3 Graphische Darstellung der Julia-Mengen
4 Die allgemeine Definition
5 Verallgemeinerung
6 Weblinks

[Bearbeiten] Julia-Mengen von quadratischen Polynomen

Eine einfache und bekannte Art, Julia-Mengen von quadratischen Polynomen zu definieren, ist folgende Rekursion: Mit zwei komplexen Zahlen, c und z₀, sei

z_n+1 = z_n² + c.

Für einen gegebenen Wert von c ist K_c definiert als die Menge aller komplexer Zahlen z₀, deren Betrag nach beliebig vielen Iterationsschritten beschränkt bleibt. Die Julia-Menge J_c ist dann der Rand dieser Menge. K_c wird als ausgefüllte Julia-Menge oder gelegentlich auch unpräzise als Julia-Menge selbst bezeichnet. Man kann nachweisen, dass K_c beschränkt ist, dass man für z₀ also nur Zahlen, deren Betrag kleiner als eine bestimmte reelle Zahl ist, einsetzen muss.

Insofern gibt es also für jeden komplexen Zahlenwert c eine Julia-Menge.

[Bearbeiten] Beziehung zur Mandelbrot-Menge

Julia-Mengen haben einen engen Bezug zur Mandelbrot-Menge. Jene ist die Menge der c, für die obige Rekursion (z_n+1 = z_n² + c) beschränkt bleibt, wenn man z₀ = 0 wählt.

Die Mandelbrotmenge ist gewissermaßen eine Beschreibungsmenge der Juliamengen. Wenn man die Mandelbrotmenge graphisch darstellt, entspricht jedem Punkt c in der komplexen Zahlenebene eine Juliamenge. Eigenschaften der Julia-Menge lassen sich an der Lage des Punktes innerhalb der Mandelbrot-Menge abschätzen. Wenn der Punkt c Teil der Mandelbrot-Menge ist, dann sind sowohl die Julia-Menge J_c als auch K_c zusammenhängend. Andernfalls sind beide Cantormengen unzusammenhängender Punkte. Falls c in der Nähe des Randes der Mandelbrotmenge liegt, dann ähnelt die entsprechende Juliamenge den Strukturen der Mandelbrot-Menge in der näheren Umgebung von c.

[Bearbeiten] Graphische Darstellung der Julia-Mengen

Zur graphischen Darstellungen der ausgefüllten Julia-Mengen K_c in der 2-dimensionalen komplexen Zahlenebene wird die Farbe eines Punktes danach gewählt, wie viele Iterationen notwendig waren, bis der kritische Betrag von 2 überschritten wurde. Alle nicht derartig divergenten Punkte werden schwarz dargestellt.

[Bearbeiten] Die allgemeine Definition

Für holomorphe oder meromorphe Funktionen $f$ , die keine Polynome sind, kann obiges Verfahren nicht angewendet werden, da die iterierten Funktionswerte im Allgemeinen für keinen einzigen Anfangswert gegen Unendlich laufen. Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Julia-Menge $J (f)$ für solche allgemeinen Funktionen zu definieren:

J(f) ist dann die kleinste unendliche und abgeschlossene Teilmenge der komplexen Ebene, die invariant unter f ist, d.h. deren Bild und Urbild wieder ganz in der Menge enthalten ist. Beispielsweise ist für jedes Polynom p(z) vom Grad ≥ 2 über den komplexen Zahlen der Rand der Menge { z | Die Folge $(p^n(z))_{\in\mathbb{N}}$ ist beschränkt} abgeschlossen, unendlich groß und invariant unter p(z). Deswegen muss er die Julia-Menge von p(z) enthalten. Dass der Rand in der Tat gleich der Julia-Menge ist, verlangt allerdings noch einige Arbeit.
J(f) ist die Menge der Punkte, bei denen die Familie der iterierten Funktionen (f)ⁿ nicht gleichgradig stetig ist. Konkret: Gibt es zu gegebenem $x_0\in C$ ein $ε > 0$ , so dass in jeder noch so kleinen Umgebung um x₀ ein Punkt z liegt, für den die iterierten Werte fⁿ(z₀) und fⁿ(z) irgendwann einen Abstand großer $ε$ haben, so gehört z₀ zur Julia-Menge von f. Hierbei darf man allerdings die komplexe Zahlenebene nicht mit der euklidischen Metrik versehen. Vielmehr muss man die komplexen Zahlen als Riemannsche Zahlensphäre auffassen und mit der entsprechenden sphärischen Metrik versehen.

[Bearbeiten] Verallgemeinerung

Man kann auch die ursprüngliche Definition auf die Algebra der Quaternionen ausweiten. Diese ist ein reell 4-dimensionaler Raum, weshalb eine vollständige Darstellung einer Juliamenge darin problematisch ist. Es ist aber möglich, den Schnitt einer solchen Julia-Menge mit einer 3-dimensionalen Hyperebene zu visualisieren.