Gumbel-Verteilung
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Die Gumbel-Verteilung ist als eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung eine der drei für die Extremwerttheorie wichtigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie wurde benannt nach Emil Julius Gumbel. Wie die Rossi-Verteilung und die Frechet-Verteilung gehört sie zu den Extremwertverteilungen, die den den in einem Zeitraum T zu erwartenden höchsten Messwert berechnen.
Sie wird u.a. in folgenden Bereichen benutzt:
- Wasserwirtschaft für extreme Ereignisse wie Hochwasser und Trockenzeiten
- Verkehrsplanung
- Meteorologie (Wettervorhersage)
- Hydrologie
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Definition
Eine stetige Zufallsgröße X genügt einer Gumbel-Verteilung, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte
und damit die Verteilungsfunktion
besitzt.
[Bearbeiten] Eigenschaften
[Bearbeiten] Erwartungswert
Die Normalverteilung besitzt den Erwartungswert
.
Dabei ist 
die Euler-Mascheroni-Konstante.
[Bearbeiten] Varianz
Die Varianz ergibt sich analog zu
.
[Bearbeiten] Standardabweichung
Daraus erhält man für die Standardabweichung
.
[Bearbeiten] Verallgemeinerung
Durch die affin-linearen Transformationen 
erhält man eine ganze Klasse von Verteilungen, auch Fischer-Tippett-Verteilung genannt, mit den Eigenschaften
.
[Bearbeiten] Beziehung zu anderen Verteilungen
[Bearbeiten] Beziehung zur Extremwertverteilung
Die Gumbel-Verteilung ergibt sich aus der Extremwertverteilung mit den Parametern a = 0, b = 1 und c = 1.
[Bearbeiten] Beziehung zur Fischer-Tippett-Verteilung
Die Gumbel-Verteilung ist äquivalent zur Fischer-Tippett-Verteilung mit den Parametern a = 0 und b = 1.
