Halbring (Mengensystem)
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Ein Halbring oder Semi-Ring ist eine vor allem in der Maßtheorie bedeutsame Struktur eines Mengensystems. Es handelt sich grob gesprochen um ein System von Teilmengen einer Grundmenge, das stabil gegenüber der Schnittmengenbildung („durchschnittsstabil“) und „fast“ stabil gegenüber der Bildung der Differenzmenge ist. Die Definition wurde eingeführt von John von Neumann.
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[Bearbeiten] Definition
Ein Mengensystem 
heißt Halbring über Ω, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
- (1)
- (2)
- (3)
paarweise disjunkt mit 
Ist zusätzlich 
, so heißt 
eine Semi-Algebra.
[Bearbeiten] Bedeutung
Halbringe treten insbesondere als Erzeugendensysteme von σ-Algebren auf. Weil Halbringe durchschnittsstabil sind, ist die von einem Halbring erzeugte σ-Algebra gleich dem erzeugten Dynkin-System.
Ein wichtiger Halbring über der Menge 
der reellen Zahlen ist das Mengensystem der links halboffenen Intervalle ![\mathcal{I}:= \{(a,b]: a,b \in \R, a \le b\}](../../../math/8/7/9/8794d83e586fd73f389d9f407126039f.png)
, welches ein wichtiges Erzeugendensystem für die σ-Algebra der Borelmengen auf ist.
[Bearbeiten] Quellen
- Skript „Caratheodory's Extension“ bei probability.net
- Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie, Springer-Verlag 1996, ISBN 3-540-15307-1
[Bearbeiten] Siehe auch
- Mengenalgebra
- Ring (Mengensystem)
