Hamilton-Jacobi-Formalismus

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Beim Hamilton-Jacobi-Formalismus (benannt nach den Mathematikern William Rowan Hamilton und Carl Gustav Jakob Jacobi) wird durch eine besondere kanonische Transformation eine Hamilton-Funktion erzeugt, die gleich Null ist. Dies hat zur Folge, dass sowohl die transformierten Ortskoordinaten q, als auch ihre kanonisch konjugierten Impulskoordinaten p Erhaltungsgrößen sind, dass also alle dynamischen Größen in der neuen Hamilton-Funktion zyklische Koordinaten sind. Die transformierte Hamilton-Funktion erhält man, indem man zur untransformierten Hamilton-Funktion die partielle Zeitableitung einer erzeugenden Funktion S addiert.

$\tilde{H} = H + \frac {\partial S}{\partial t}$

mit

$\tilde{H} = 0$

Damit ist:

$\frac {\partial \tilde {H}}{\partial p_k} = \dot q_k = 0 \Leftrightarrow q_k = const$

$-\frac {\partial \tilde {H}}{\partial q_k} = \dot p_k = 0 \Leftrightarrow p_k = const$

Eine solche Erzeugende S zu finden gilt oftmals als eine hohe Kunst.

[Bearbeiten] Hamilton-Jacobi-Formalismus für nicht explizit zeitabhängige Hamilton-Funktion

Ziel des Hamilton-Jacobi-Formalismus ist die Vereinfachung der Hamiltonschen Bewegungsgleichung mittels kanonischer Transformation. Dies geschieht dergestalt, dass zu der alten Hamilton-Funktion, die von den alten Impulsen und Orten abhängt, eine erzeugende Funktion $S (q, p')$ konstruiert wird, die sie in eine neue Hamilton-Funktion transformiert, welche nur noch von den neuen Impulsen abhängen soll:

$H(p,q) \Rightarrow \tilde{H}(p')$

Für konservative Systeme soll dann gelten:

$\dot p' = -\frac {\partial \tilde {H}(p')}{\partial q} = 0 \Leftrightarrow p' = const$

$\dot q' = \frac {\partial \tilde {H}(p')}{\partial p} = const = C \Leftrightarrow q = q't + b$ mit $b = c o n s t$

Wird nun eine erzeugende Funktion $S (q, p')$ gefunden, welche $H (p, q)$ auf $\tilde {H}(p')$ transformiert, so sind die neuen Impulse Konstanten der Bewegung. Die neuen Orte ändern sich nur linear mit der Zeit. Für $S (q, p')$ muss gelten:

$p = \frac {\partial S(q,p')}{\partial q}$

$q' = \frac {\partial S(q,p')}{\partial p}$

Eingesetzt in die Hamilton-Funktion ergibt sich:

$H(q,p) \Rightarrow H(q,\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}) = \tilde {H}(p')$

Wir haben nun die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für konservative Systeme. Aus dieser Differentialgleichung lässt sich dann $S (q, p')$ bestimmen.

Zur Veranschaulichung von S bilden wir die totale Zeitableitung:

$\frac {d}{dt}S(q,p') = \frac {\partial S}{\partial q} \dot q + \frac {\partial S}{\partial p} \dot p' = p\dot q + q'\dot p'$

da $\dot p' = 0 \Rightarrow \frac {d}{dt}S(q,p') = p\dot q = \frac {\partial L}{\partial \dot q}\dot q = \frac {\partial T}{\partial \dot q}\dot q = 2T$

Die zeitliche Integration liefert dann:

$S = \int_{t_1}^{t_2} 2T\ dt = W$

$S (q, p')$ ist also identisch mit dem Wirkungsintegral.

[Bearbeiten] Beispiel: Der eindimensionale harmonische Oszillator

Sei U = U(q) ein beliebiges Potential. Die Hamilton-Funktion lautet:

$H(p,q) = \frac {p^2}{2m} + U(q)$

Und die Hamilton-Jacobi-Gleichung:

$\frac {1}{2m} (\frac{\partial S(q,p')}{\partial q})^2 + U(q) = \tilde H = E$

Nun ist beim eindimensionalen Oszillator $\tilde H$ die einzige Konstante der Bewegung. Da p' ebenfalls konstant sein muss, setzen wir $p' = \tilde H = E$ . Für konservative Systeme lässt sich immer ein $p' = \tilde H$ setzen. Wir erhalten damit: