Рівняння Гамільтона-Якобі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Рівня́ння Гамільто́на—Я́кобі - це рівняння в часткових похідних, яке повністю визначає еволюцію гамільтонової системи класичної механіки.

Рівняння має наступне формулювання:

.

Тут H(q_i,p_i,t) - функція Гамільтона для системи із узагальненими координатами q_i і узагальненими імпульсами p_i, де i пробігає значення від одиниці до кількості ступенів свободи гамільтонової системи n.

Зміст 1 Визначення еволюції узагальнених координат та імпульсів 2 Значення 3 Джерела 4 Дивись також

[ред.] Визначення еволюції узагальнених координат та імпульсів

S - це функція узагальнених координат q_i і часу, яка має розмірність дії.

Рівняння Гамільтона-Якобі це рівняння в часткових похідних першого порядку відносно функції S. Його розв'язок залежить від f параметрів інтегрування, які можна позначити Q_i. Запишемо цей розв'язок у вигляді S(t,q_i,Q_i). Тоді еволюція узагальнених змінних системи визначається із розв'язку наступної ситеми алгебраїчних рівнянь:

де P_i - це ще n нових параметрів інтегрування.

[ред.] Значення

Рівняння Гамільтона-Якобі загалом інтегрувати складніше, ніж вихідні рівняння гамільтонової механіки, проте воно є зручним засобом для побудови наближень.

Загальний вигляд рівняння Гамільтона-Якобі нагадує квантовомеханічне рівняння Шредінгера. Доведено, що для макроскопічних тіл рівняння Шредінгера зводиться до класичного рівняння Гамільтона-Якобі.

[ред.] Джерела

• Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка, Київ: Вища школа., 516 с.

[ред.] Дивись також

• механіка Гамільтона
• механіка Лагранжа