Hausdorffs Maximalkettensatz
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Der Maximalkettensatz wird meistens als Maximalitätsprinzip von Hausdorff bezeichnet. Es handelt sich um ein grundlegendes Prinzip der Mengenlehre, das eng mit dem Lemma von Zorn verbunden ist. Es ist mit diesem (im Rahmen der Mengenlehre auf Grundlage der Zermelo-Fraenkel-Axiome) sogar äquivalent, damit also auch mit dem Auswahlaxiom, unter der Voraussetzung, dass die Zermelo-Fraenkel-Axiome in sich widerspruchsfrei sind.
Felix Hausdorff veröffentlichte sein Maximalitätsprinzip im Jahre 1914 in seinem bedeutsamen Werk Grundzüge der Mengenlehre.
Das Maximalitätsprinzip lässt sich wie folgt formulieren:
Gegeben sei eine geordnete Menge 
und darin eine Teilmenge K, die bzgl. der gegebenen Ordnungsrelation 
eine Kette darstellt; d. h. für je zwei Elemente k1 und k2 von K gilt entweder 
oder 
. Dann existiert eine K umfassende Kette K0 von , die ihrerseits von keiner anderen Kette von echt umfasst wird.
In Kurzform besagt das Maximalitätsprinzip also, dass in einer geordneten Menge eine jede Kette zu einer maximalen Kette erweitert werden kann. Dieses motiviert auch den Namen des Prinzips als Maximalkettensatz.
Die oben wiedergegebene Fassung des Maximalitätsprinzips ist diejenige, die in der mathematischen Literatur üblicherweise zitiert wird. Historisch gesehen hat Felix Hausdorff eine etwas andere, allerdings äquivalente und nur scheinbar schwächere Fassung seines Maximalitätsprinzips gegeben:
In einer geordneten Menge existiert stets mindestens eine Kette, die von keiner anderen Kette von echt umfasst wird.
