Helmholtz-Spule

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Helmholtz-Spulen

Eine besondere Spulenanordnung geht auf den deutschen Physiker Hermann von Helmholtz (1821 – 1894) zurück: Zwei sehr kurze Spulen mit großem Radius R werden im Abstand R auf gleicher Achse parallel aufgestellt. Das Feld jeder einzelnen Spule ist inhomogen. Durch die Überlagerung beider Felder ergibt sich aber zwischen beiden Spulen nahe der Spulenachse ein Bereich mit weitgehend homogenem Magnetfeld, das für Experimente frei zugänglich ist. Es gibt die Helmholtzspule in verschiedenen Bauformen zylindrisch, quadratisch aber auch dreidimensional. Mit der dreidimensionalen Spule kann man ein Magnetfeld beliebiger Richtung erzeugen und damit einen Gegenstand untersuchen, ohne diesen drehen zu müssen.

Inhaltsverzeichnis

1 Anwendungen der Helmholtzspule:
2 Vorteile
3 Berechnung der magnetischen Flussdichte
4 Helmholtzspulenpaar mit je N Windungen
5 Feldverläufe bei verschiedenen Spulenabständen
6 Maxwellspule

[Bearbeiten] Anwendungen der Helmholtzspule:

Helmholtzspule mit Fadenstrahlrohr

Bestimmung der spez. Elektronenladung nach Helmholtz mit Fadenstrahlrohr

Qualitätskontrolle von Hartmagneten

Hall-Effektuntersuchungen

Kalibrierung von Magnetfeldsonden

HF-Spule in Magnetresonanztomographie

Gradientenspule (als Maxwellspule) in Magnetresonanztomographie

Magnetfeldtherapie (Die Wirksamkeit der therapeutischen Wirkung von Magnetfeldern ist umstritten. Neben esoterischen Behauptungen gibt es auch einige wissenschaftliche Hypothesen, nach denen durch Induktion Veränderungen chemischer und physikalischer Vorgänge in den Zellmembranen ausgelöst werden könnten. Konkrete Nachweise bei lebenden Zellen fehlen jedoch bis heute.)

[Bearbeiten] Vorteile

Die erzeugte Feldstärke steht in einem streng linearem Zusammenhang zum Spulenstrom. Aus der Spulengeometrie, dem Strom und der Windungszahl lässt sich die resultierende Feldstärke exakt analytisch (oder auch numerisch) berechnen. Daher ist die Helmholtzspule ideal für die Kalibrierung von Magnetfeldsonden einsetzbar.

[Bearbeiten] Berechnung der magnetischen Flussdichte

Wenn wir den Ursprung des Koordinatensystems in das Zentrum der Spule legen, ergibt sich mit dem Biot-Savart-Gesetz für das Feld entlang der Symmetrieachse:

$\vec{B}(x)=\frac{\mu_0 I}{2}\cdot\frac{R^2}{\left(R^2+x^2\right)^{\frac{3}{2}}}\vec{e}_x$

Feldverlauf einer kurzen Spule

Das Feld im Zentrum des Helmholtz-Spulenpaars ist die Überlagerung zweier Kreisströme im Abstand $\pm R/2$ :

$B\left(\frac{R}{2}\right)=\frac{1}{2} \cdot\mu_0\cdot\frac{I\cdot R^2}{\left(R^2+\left(\frac{R}{2}\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}$

$+$

$B\left(\frac{-R}{2}\right)=\frac{1}{2} \cdot\mu_0\cdot\frac{I\cdot R^2}{\left(R^2+\left(\frac{-R}{2}\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}$

$=$

$2\cdot B\left(\frac{R}{2}\right) = \mu_0\cdot\frac{I\cdot R^2}{\left(R^2+\left(\frac{R}{2}\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}} = \mu_0\cdot\frac{I\cdot R^2}{\left(\frac{5\cdot R^2}{4}\right)^{\frac{3}{2}}}$

$=$

$2\cdot B\left(\frac{R}{2}\right) = \mu_0\cdot\frac{I\cdot R^2}{\left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot R^3}= \mu_0\cdot\frac{8\cdot I}{\sqrt{125}\cdot R}$

wobei $μ 0$ magnetische Feldkonstante, $I$ die Spulenströmstärke und $R$ der Spulenradius ist.

[Bearbeiten] Helmholtzspulenpaar mit je N Windungen

Ursprung des Koordinatensystems in der Mitte zwischen den Spulen.

$B(0)=\mu_0\cdot \frac{8\cdot I\cdot N}{\sqrt{125}\cdot R}$

$B(0)=4\cdot\pi \cdot 10^{-7}\frac{V\cdot s}{A\cdot m}\cdot 0,716\cdot\frac{I\cdot N}{R}$

Beispiel: I = 1,7 A; N = 130; R = 0,15 m

$B(0)=4\cdot\pi \cdot 10^{-7}\frac{V\cdot s}{A\cdot m}\cdot 0,716\cdot\frac{1,7 A\cdot 130}{0,15\ m}= 1,33\ mT$

[Bearbeiten] Feldverläufe bei verschiedenen Spulenabständen

Verteilungsfunktionen

Abstand zur Mitte a=0,5 R (Anordnung nach Helmholtz)

Bei der Anordnung nach Helmholtz verschwindet in der Mitte die erste und die zweite Ableitung der Feldfunktion, nach den Seiten fällt die Feldstärke relativ schnell ab.

Abstand zur Mitte a=0,54 R (längste homogene Strecke)

Abstand zur Mitte a=0,55 R (leichte Einsenkung)

Größere Abstände ergeben ein größeres Experimentiervolumen, aber zur Spulenmitte hin abfallende Feldstärkewerte. Kleinere Abstände ergeben größere Feldstärken, aber ein kleineres Experimentiervolumen

Abstand zur Mitte a=0,5985 R (drei gleiche Werte B(-a)=B(0)=B(a))

Feldverlauf in Richtung der Spulenachse (gemessen)

Feldverlauf quer zur Richtung der Spulenachse (gemessen)

Die gemessenen Werte ergeben eine gute Übereinstimmung mit den gerechneten Werten

Magnetfeld der Helmholtzspule mit Eisenfeilspänen sichtbar gemacht

Magnetfeld der Helmholtzspule mit Java-Applet gezeichnet

Die Eisenfeilspäne zeigen die gute Homogenität des Magnetfeldes in der Nähe der Spulenachse

[Bearbeiten] Maxwellspule

Abstand optimiert a=sqrt(3)/2

Werden die Spulen gegensinnig vom Strom durchflossen, so erhält man bei geeignet gewählter Geometrie im Inneren einen konstanten Feldgradienten. Ist der Abstand der Spulen zueinander $\sqrt{3} R$ , dann verschwindet bei x=0 die zweite und die dritte Ableitung, d.h. die Feldfunktion ist dort eine Gerade. Man nennt die Spulenanordnung dann Maxwell-Spule, manchmal auch Anti-Helmholtz-Spule.