Biot-Savart-Gesetz

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B-Feld eines geraden Leiters

Das Biot-Savart-Gesetz beschreibt das Magnetfeld, das durch bewegte elektrische Ladungen erzeugt wird. Benannt wurde es nach den beiden französischen Mathematikern Jean Baptiste Biot und Félix Savart. Es stellt – neben dem Ampèreschen Gesetz über die Kraftwirkung magnetischer Felder auf bewegte elektrische Ladungen – eines der beiden Grundgesetze der Magnetostatik, eines Teilgebiets der Elektrodynamik, dar.

[Bearbeiten] Definition

Eine Punktladung Q, die sich am Ort $\vec{r}_Q$ mit der Geschwindigkeit $\vec v$ bewegt, erzeugt im SI-Einheitensystem ein Magnetfeld $\vec B(\vec r)$ nach

$\vec B(\vec r)=\frac{\mu Q}{4\pi}\frac{\vec v\times(\vec r-\vec{r}_Q)}{\Vert\vec r-\vec{r}_Q\Vert^3}\;$ .

Dabei ist μ die Permeabilität. Für elektrische Ströme, die sich durch eine Ladungsstromdichte $\vec J$ beschreiben lassen, ergibt sich das Volumenintegral

$\vec B(\vec r)=\frac{\mu}{4\pi}\iiint_{V_Q}\vec J(\vec{r}_Q)\times\frac{(\vec r-\vec{r}_Q)}{\Vert\vec r-\vec{r}_Q\Vert^3}\;\mathrm{d}{V_Q}$ .

Diese Beziehung ist das magnetische Analogon zu der Formel, die in der Elektrostatik das elektrische Feld als Funktion einer Ladungsdichteverteilung beschreibt, und die daher strukturell sehr ähnlich ist. Für das Magnetfeld eines linienförmigen Leiters C, in dem der elektrische Strom I fließt, ergibt sich das Linienintegral

$\vec B(\vec r)=\frac{\mu I}{4\pi}\oint_C \mathrm{d}{\vec{r}_Q}\times\frac{(\vec r-\vec{r}_Q)}{\Vert\vec r-\vec{r}_Q\Vert^3}\;$ .

Dabei ist $d\vec{r}_Q$ ein infinitesimales Linienelement entlang des Leiters, und zwar in Richtung des elektrischen Stromes. Für eine parametrische Darstellung des Leiters $\vec{r}_Q(p)$ ist $d\vec{r}_Q$ durch

$d\vec{r}_Q=\frac{d\vec{r}_Q(p)}{d p}d p$

zu ersetzen.

Der Beitrag einer Ladung an einem Ort zum Magnetfeld an einem anderen Ort breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus. Der entsprechende Retardierungseffekt wird im Biot-Savart-Gesetz nicht berücksichtigt. Es ist daher nur für stationäre Ströme streng gültig und für Punktladungen in guter Näherung, sofern ihre Geschwindigkeit klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit ist.

Zusätzlich gilt es zu beachten, dass die Permeabilität µ je nach Material auf unterschiedliche Weise abhängig von der Feldstärke H ist:

$\mu \to \mu\left( \mathbf{H} \right)$

siehe auch: Permeabilitätszahl

[Bearbeiten] Anwendung

[Bearbeiten] Flussdichte in einem Punkt P

Überlagerung der B-Felder einzelner Ladungen Q in einem Punkt P

Um die Flussdichte B in einem Punkt P im dreidimensionalem Raum $\mathbb{R}^3$ zu bestimmen, wendet man das Superpositionsprinzip (dh. das Überlagerungsprinzip) an und summiert die einzelnen Flussdichten (B und B'), welche die einzelnen bewegen Ladungsträger Q hervorrufen. Dadurch gilt (im Vakuum):

$\mathbf{B} \left( \mathbf{P} \right) = \frac{\mu_0}{4\,\pi} \, Q\,\mathbf{v} \times \frac{\mathbf{r}}{\left\| \mathbf{r}^3 \right\|} + \frac{\mu_0}{4\,\pi} \, Q'\,\mathbf{v} \times \frac{\mathbf{r'}}{\left\| \mathbf{r'}^3 \right\|}$

Verallgemeinert lässt sich dies wie folgt formulieren:

$\mathbf{B} \left( \mathbf{P} \right) = \frac{\mu_0}{4\,\pi} \, \int_i{ Q_i\,\mathbf{v}_i \times \frac{\mathbf{r}_i}{\left\| \mathbf{r}_i^3 \right\|} } \mathrm{d}i$

und aus

$Q \, \mathbf{v} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( Q\,s \right) = \mathbf{I}\,\mathbf{s}$ ,

wobei die Vektoren I und s die selbe Richtung aufweisen, erhält man:

$\mathbf{B} \left( \mathbf{P} \right) = \frac{\mu_0}{4\,\pi} \, \int_i{ \mathbf{I}_i\,\mathbf{s}_i \times \frac{\mathbf{r}}{\left\| \mathbf{r}_i^3 \right\|} } \mathrm{d}i$

[Bearbeiten] Kreisförmige Leiterschleife

Magnetfeld in einer Stromschleife

Zur Berechnung der Flussdichte in einem Punkt in der Umgebung einer stromdurchflossenen, kreisrunden, Leiterschleife muss die Biot-Savart-Formel dahingehend umgeformt werden, dass die Flussdichten der Ladungen im Abhängigkeit vom Winkel summiert werden:

$\mathbf{B} \left( \mathbf{P} \right) = \int_0^{2\,\pi}{ \frac{\mu_0}{ 4\,\pi\,\mathbf{r}_{\overline{PQ}}^2} \cdot Q\left( \phi \right)\cdot\mathbf{v} \left( Q\left( \phi \right) \right) \times\frac{\mathbf{r}_{\overline{PQ}}}{\left\| \mathbf{r}_{\overline{PQ} }\right\|}} \quad\mathrm{d}\phi$

Im Spezialfall, dass sich der Punkt P genau über der Mitte der Leiterschleife befindet, vereinfacht sich diese Formel zu

$\mathbf{B}\left( \mathrm{P} \right) = \frac{\mu_0 \, I}{2\, r_a}\,\sin^3{\alpha}\,\vec{e}_x$

wobei $\mathbf{r}_a$ in diesem Fall die Höhe des Punktes $\mathbf{P}$ über der Mitte darstellt, $\vec{e}_x$ ist der Einheitsvektor entlang der x-Achse ist, sowie der Winkel $α$ wie folgt definiert ist:

$\tan\alpha = \frac{r_P}{r_a}$

Für die Flussdichteverteilung entlang der Achse der Leiterschleife (im Beispiel die z-Achse) erhält man die Formel

$\mathrm{B}\left( z \right) = \frac{\mu_0 \, I}{4\,\mathbf{r}_a^2}\,\frac{\vec{e}_z}{\left( 1 + \frac{z}{\left\| \mathbf{r}_a \right\|} \right)}$

wobei der Fall $\left\| \mathbf{r}_a \right\| \gg$ als magnetisches Dipolfeld behandelt werden kann.

Abhängigkeiten zur Berechnung der Flussdichte B in einem Punkt P neben einer Stromschleife

Flussdichte B in Abhängigkeit des Radius r_a entlang der Achse der Leiterschleife

[Bearbeiten] Gerader Linienleiter

Abhängigkeiten zur Berechnung beim geraden Linienleiter

Zur Berechnung der Flussdichte B in einem Punkt P kann man die folgende Formel andwenden:

$\mathbf{B} \left( \mathbf{P} \right) = \int{ \frac{\mu_0\,\mathrm{d}\mathbf{I} }{ 4\,\pi\,\mathbf{r}_{\overline{PQ}}^2 } \times \frac{\mathbf{r}_{\overline{PQ}} }{\left\| \mathbf{r}_{\overline{PQ}} \right\|} }$

Umgelegt auf die Winkel erhält man

$\mathbf{B} \left( \mathbf{P} \right) = \frac{\mu_0\,\left\| \mathbf{I} \right\|}{4\,\pi} \, \int_{a_1}^{a_2}{ \frac{\rho \, \mathrm{d}\alpha}{ \cos^2{\alpha} } \, \frac{ \cos^2{\alpha} }{\rho^2} \, \cos{\alpha} \, \vec{e}_a}$

$\mathbf{B} \left( \mathbf{P} \right) = \frac{\mu_0 \, \left\| \mathbf{I} \right\|}{4\,\pi\,\rho} \, \left( \sin{\alpha_2} - \sin{\alpha_1} \right) \, \vec{e}_a$

mit

$n + s = \rho\,\tan{\alpha}$

$\left\| \mathbf{r}_{\overline{PQ}} \right\| = \frac{\rho}{\cos{\alpha}}$

$\mathrm{d}s = \frac{\rho\,\mathrm{d}\alpha}{\cos^2{\alpha}}$

wobei $ρ$ , $s$ und $n$ skalar abgebildet sind (dh. es wird nur der Betrag und nicht die Richtung berücksichtigt).

[Bearbeiten] Unendlich langer gerader Linienleiter

Für das Magnetfeld eines geraden, unendlich langen, Leiters auf der z-Achse ergibt das obige Linienintegral

$\mathbf{B}\left( \mathbf{P} \right) = \frac{\mu\,\mathbf{I}}{2\,\pi\,\rho}\,\mathbf{e}_\phi$ ,

wobei $ρ$ der senkrechte Abstand zur z-Achse und $\vec e_\phi$ der Einheitsvektor bezüglich des Winkels $φ$ der zugehörigen Zylinderkoordinaten ist. Das Magnetfeld bildet damit konzentrische Kreise um den Leiter und nimmt umgekehrt proportional zum Abstand vom Leiter ab. In vektorieller Form erhält man:

$\mathbf{B}\left( \mathbf{P} \right) = \frac{\mu\,\mathbf{I}}{2\,\pi}\times\frac{\mathbf{r}_{\overline{PQ}}}{\mathbf{r}_{\overline{PQ}}^2}$

[Bearbeiten] Rahmenspule

Abhängigkeiten zur Berechnung der Rahmenspule

Nach der runden Spule ist die Rahmenspule die am häufigsten verwendete Variante. Die Formel kann aus der Formel für den Linienleiter abgeleitet werden, indem man die geraden Abschnitte der Spule als Linienleiter behandelt.

$\mathbf{B} = \frac{\mu_0\,N\,I}{4\,\pi}\,2\,\left( \frac{2\,\sin{\alpha}}{\frac{\alpha}{2}} + \frac{2\,\sin{\beta}}{\frac{\alpha}{2}} \right) \,\vec{e}_z$