Hilfssatz

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Ein Hilfssatz (Gr. Lemma, $λεμμα$ ) ist ein mathematischer Satz, der als Grundlage oder als Voraussetzung benötigt wird, um einen mathematischen Satz zu formulieren. Ein Hilfssatz beweist eine (einfache) Tatsache der Mathematik, welche als Grundlage für einen weiterführenden mathematischen Satz als nicht trivial vorausgesetzt wird, jedoch den Rang eines mathematischen Satzes (und die damit verbundene Wichtigkeit) meist nicht besitzt. Dies ist allerdings vom jeweiligen Fachgebiet, in dem das Lemma verfasst wird, unterschiedlich und somit subjektiv.

[Bearbeiten] Beispiel

Man kann beispielsweise nur dann zeigen, dass $\sqrt{2}$ irrational ist (als Satz), wenn man voraussetzen kann, dass Quadrate gerader Zahlen wieder gerade sind, Quadrate ungerader Zahlen jedoch stets ungerade Zahlen ergeben (diese Aussage entspräche dem Lemma). Um strukturierter (und somit in der Mathematik "sauberer") vorzugehen, beweist man die beiden Tatsachen einzeln, wobei die Tatsache des Hilfssatzes (des Lemmas) später auf weitere Fälle oder Beweise angewendet werden kann, wohingegen der "Satz" eine spezielle Aussage liefert.

Um das vorangegangene Beispiel umzusetzen, ginge man (zum Beispiel in einer Vorlesung) folgendermaßen vor.

Lemma: Quadrate gerader und ungerader ganzer Zahlen sind stets gerade bzw. ungerade.

Beweis: Sei $x \in \mathbb{Z}$ vorgegeben. Zu zeigen ist, dass $x 2$ der entsprechenden Behauptung genügt, d. h. wenn $x = 2 y$ (gerade) bzw. $x = 2 y + 1$ (ungerade) für ein $y \in \mathbb{Z}$ ist, dann ist $x 2$ gerade bzw. ungerade.

Beide Fälle werden separat behandelt. Im ersten Fall ( $x = 2 y$ ) hat man $x^2 = (2y)^2 = 2^2 \cdot y^2$ (gemäß den Potenzgesetzen) $= 2 \cdot 2y^2$ , also eine gerade Zahl. Im anderen Fall ( $x = 2 y + 1$ ) ergibt sich $x^2 = (2y+1)^2 = (2y)^2 + 2 \cdot 2y \cdot 1 + 1^2$ (nach den binomischen Formeln) $= 2 \cdot (2y^2+2y)+1$ , also eine ungerade Zahl.

Satz: $\sqrt 2$ ist irrational, also gilt $\sqrt 2 \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ .

Beweis: Die behauptete Aussage wird bewiesen, indem die Annahme, das Gegenteil sei richtig, zum Widerspruch geführt wird (Widerspruchsbeweis).

Es wird angenommen, es gelte $\sqrt 2 \in \mathbb{Q}$ . Dann gibt es zueinander teilerfremde $a \in \mathbb{Z}$ und $b \in \mathbb{N}$ mit $\sqrt 2 = \frac{a}{b}$ . Quadriert man diese Gleichung und multipliziert beide Seiten mit $b 2$ , erhält man $2 \cdot b^2 = a^2$ . Weil die linke Seite gerade ist, ist auch die rechte gerade. Nach dem vorausgegangenen Lemma ist dann auch $a$ gerade und es gibt ein $c \in \mathbb{Z}$ mit $a = 2 c$ . Aus der Gleichung folgt $b^2 = \frac{a^2}{2} = \frac{(2c)^2}{2} = 2c^2$ , woraus man erkennt, dass $b 2$ und damit auch $b$ (wieder wegen des Lemmas) gerade ist. Dies widerspricht der Annahme, dass $a$ und $b$ teilerfremd gewählt werden können. Damit ist die Annahme, $\sqrt 2$ sei rational, falsch und der Satz ist bewiesen.