Homotopie (homologische Algebra)
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Im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra ist eine Homotopie eine Abstraktion des topologischen Begriffes einer Homotopie.
[Bearbeiten] Definition
Es seien X und Y Kokettenkomplexe und 
zwei Kettenabbildungen, d.h. Systeme von Abbildungen 
, die mit den Differentialen in dem Sinne verträglich sind, dass
gilt.
Dann ist eine Homotopie 
eine Folge von Abbildungen 
, so dass
- f − g = Dd + dD oder ausführlicher
gilt.
f und g heißen homotop, wenn es eine Homotopie gibt. Homotop zu sein ist eine Äquivalenzrelation und verträglich mit der Komposition.
Homotopien von Abbildungen zwischen Kettenkomplexen (und nicht Kokettenkomplexen) sind analog definiert.
[Bearbeiten] Bedeutung
- Homotope Kettenabbildungen induzieren dieselbe Abbildung in der Kohomologie.
- Ist insbesondere C ein Kokettenkomplex und
eine Homotopie zwischen der Identität auf C und der Nullabbildung auf C, so ist die Kohomologie von C trivial, d.h. C ist exakt. Man spricht dann auch von einer kontrahierenden Homotopie.
