Homotopie

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Dieser Artikel behandelt den topologischen Begriff Homotopie. Für die daraus entstandene Begriffsbildung der homologischen Algebra siehe Homotopie (homologische Algebra).

In der Topologie ist eine Homotopie eine stetige Deformation zwischen zwei Abbildungen von einem topologischen Raum in einen anderen, beispielsweise die Deformation einer Kurve in eine andere Kurve.

[Bearbeiten] Definition

Genauer ist eine Homotopie zwischen zwei stetigen Abbildungen $f: X \to Y$ und $g: X \to Y$ eine stetige Abbildung

$H: X \times [0, 1] \to Y$ mit der Eigenschaft

H (x,0) = f (x)

und

H (x,1) = g (x)

wobei $[0,1]$ das Einheitsintervall ist. Der erste Parameter entspricht also dem der ursprünglichen Abbildungen und der zweite gibt den Grad der Deformation an.

Man sagt auch $f$ ist homotop zu $g$ und schreibt $f \sim g$ . Homotopie ist eine Äquivalenzrelation, die zugehörigen Äquivalenzklassen heißen Homotopieklassen.

[Bearbeiten] Beispiel

Sei $X=S^{1}\subset \mathbb R^2$ der Einheitskreis in der Ebene und $Y=\mathbb R^2$ die ganze Ebene. Die Abbildung $f$ sei die Einbettung von $X$ in $Y$ , und $g$ sei die Abbildung, die ganz $X$ auf den Ursprung abbildet, also

$f(x)=x,\quad g(x)=0$ .

Dann sind $f$ und $g$ zueinander homotop. Denn

$H: X \times [ 0, 1] \to \mathbb R^2$ mit $H(x,t) = (1-t) \cdot f(x)$

ist stetig und erfüllt $H(x,0)=1\cdot f(x)$ und $H(x,1)=0\cdot f(x)=0=g(x)$ .

[Bearbeiten] Relative Homotopie

Ist $E$ eine Teilmenge von $X$ , und stimmen zwei stetige Abbildungen $f,g\colon X\to Y$ auf $E$ überein, so heißen $f$ und $g$ homotop relativ $E$ , wenn es eine Homotopie $H\colon f\sim g$ gibt, für die $H (e, t)$ für jedes $e\in E$ unabhängig von $t$ ist.

Ein wichtiger Spezialfall ist die Homotopie von Wegen relativ der Endpunkte: Ein Weg ist eine stetige Abbildung $\gamma\colon [0,1]\to X$ ; dabei ist $[0,1]$ das Einheitsintervall. Zwei Wege heißen homotop relativ der Endpunkte, wenn sie homotop relativ ${0,1}$ sind, d.h. wenn die Homotopie die Anfangs- und Endpunkte festhält. (Sonst wären Wege in der gleichen Wegzusammenhangskomponente immer homotop.) Sind also $γ 0$ und $γ 1$ zwei Wege in $Y$ mit $γ 0 (0) = γ 1 (0) = x$ und $γ 0 (1) = γ 1 (1) = y$ , so ist eine Homotopie relativ der Endpunkte zwischen ihnen eine stetige Abbildung

$H:[0,1]\times [0,1]\to Y$

mit $H (t,0) = γ 0 (t)$ , $H (t,1) = γ 1 (t)$ , $H (0, s) = x$ und $H (1, s) = y$ .

Ein Weg heißt nullhomotop genau dann, wenn er homotop zum konstanten Weg $γ(t) = x 0$ ist.

Der andere häufig auftretende Fall ist die Homotopie von Abbildungen zwischen punktierten Räumen. Sind $(X, x 0)$ und $(Y, y 0)$ punktierte Räume, so sind zwei stetige Abbildungen $f,g\colon (X,x_0)\to(Y,y_0)$ homotop als Abbildungen von punktierten Räumen, wenn sie relativ $x 0$ homotop sind.

Beispiel: Die Menge der Homotopieklassen von Abbildungen punktierter Räume von $(S 1, * )$ nach $(X, x 0)$ ist die Fundamentalgruppe von $X$ zum Basispunkt $x 0$ .

[Bearbeiten] Homotopieäquivalenz

Sind $X$ und $Y$ zwei topologische Räume und sind $f:X \to Y$ und $g:Y \to X$ stetige Abbildungen. Dann sind die Verknüpfungen $g\circ f$ und $f\circ g$ jeweils stetige Abbildungen von $X$ bzw. $Y$ auf sich selbst, und man kann versuchen, diese zur Identität auf X bzw. Y zu homotopieren.

Falls es solche $f$ und $g$ gibt, dass $g\circ f$ homotop zu $i d X$ und $f\circ g$ homotop zu $i d Y$ ist, so nennt man $X$ und $Y$ homotopieäquivalent oder vom gleichen Homotopietyp. Die Abbildungen $f$ und $g$ heißen dann Homotopieäquivalenzen.

Homotopieäquivalente Räume haben die meisten topologischen Eigenschaften gemeinsam. Falls $X$ und $Y$ homotopieäquivalent sind, so gilt

falls $X$ wegzusammenhängend, so auch $Y$ .
falls $X$ und $Y$ wegzusammenhängend, so sind die Fundamentalgruppen und die höheren Homotopiegruppen isomorph.
die Homologie- und Kohomologiegruppen von $X$ und $Y$ sind gleich.
X und Y sind Deformationsretrakte eines topologischen Raums Z.