Hyperwürfel

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Unter einem Hyperwürfel versteht man einen regulären Würfel mit 4 oder mehr Dimensionen. Der 4-dimensionale Hyperwürfel wird auch als Tesserakt bezeichnet.

[Bearbeiten] Konstruktion regulärer Würfel

Reguläre Würfel der Kantenlänge a lassen sich wie folgt erzeugen:

Wenn ein Punkt um die Distanz a geradlinig verschoben wird, entsteht eine Strecke, eine 1-dimensionale Strecke, erste Voraussetzung eines Würfels.
Wenn diese Strecke senkrecht zu ihrer Dimension um die Distanz a verschoben wird, entsteht ein Quadrat bzw. eine Fläche
Wenn dieses Quadrat senkrecht zu seinen beiden Dimensionen um die Distanz a verschoben wird, entsteht ein 3-dimensionaler Würfel.
Allgemein: Wenn ein n-dimensionaler Würfel senkrecht zu seinen n Dimensionen um die Distanz a verschoben wird, entsteht ein (n+1)-dimensionaler Würfel.

[Bearbeiten] Grenzelemente

Der 3-dimensionale Würfel wird von Punkten, Kanten und Flächen begrenzt.
Allgemein: Der n-dimensionale Würfel wird von 0-dimensionalen Punkten, ..., (n-1)-dimensionalen Elementen begrenzt.

Die Anzahl der einzelnen Grenzelemente lässt sich aus folgenden Überlegungen ableiten.

Wenn ein (n+1)-dimensionaler Würfel aus einem n-dimensionalen Würfel erzeugt wird, werden durch dessen Verschiebung alle k-dimensionalen Elemente ( k <= n ) verdoppelt.
Gleichzeitig wird jedes (k-1)-dimensionale Grenzelement zu einem k-dimensionalen erweitert.

Anders kann man sich überlegen: Wenn man einen n-dimensionalen Hyperwürfel in ein kartesisches Koordinatensystem um den Ursprung zentriert und nach den Koordinatenachsen ausgerichtet legt, gibt es zu einem k-dimensionalen Grenzelement k Koordinatenachsen, die parallel zu diesem Grenzelement sind. Andererseits gibt es aber zu jeder Auswahl von k Koordinatenachsen nicht nur ein k-dimensionales Grenzelement, sondern 2^n-k, weil man durch jede der n-k zu den Grenzelementen senkrechten Achsen die Anzahl der Grenzelemente verdoppelt (es gibt die selben Grenzelemente noch einmal parallelverschoben auf der anderen Seite der Achse). Die Anzahl der Grenzelemente ergibt sich also aus dem Produkt der Anzahl der Möglichkeiten, k Achsen aus den n Achsen auszuwählend (Binomialkoeffizient ${n \choose k}$ ), mit der Anzahl von Grenzelementen für jede Auswahl und lautet somit

${n \choose k} \cdot 2^{n-k}$

Beispiel: Der 3-dimensionale Würfel wird durch Verschiebung eines Quadrats erzeugt.

Die 4 Kanten des Quadrats werden dadurch verdoppelt.
Die 4 Eckpunkte des Quadrats werden zu Kanten erweitert.

Der 3-dimensionale Würfel besitzt damit 2 * 4 + 4 = 12 Kanten.

Der Weg zum Hyperwürfel

	0-dim.	1-dim.	2-dim.	3-dim.	4-dim.	5-dim.
	Anzahl der Grenzelemente
Strecke	2
Quadrat	4	4
3-dim. Würfel	8	12	6
4-dim. Würfel	16	32	24	8
5-dim. Würfel	32	80	80	40	10
6-dim. Würfel	64	192	240	160	60	12

Alle 0- bis 5-dimensionalen Würfel in der Parallelprojektion:

[Bearbeiten] Eigenschaften

Dimension	Kanten	Knoten	Seiten	Grad	Durchmesser	Kanten Zusammenhang	Knoten Zusammenhang
n	$2^{(n-1)}\cdot n$	$2 n$	$2 n$	$n$	$n$	$n$	$n$

[Bearbeiten] Hyperwürfel in der Popkultur

Der Film Cube 2: Hypercube handelt von einem Hyperwürfel.
Die Kurzgeschichte And He Built a Crooked House, in der deutschen Version Das 4D-Haus, von Robert A. Heinlein behandelt ein Haus, das aus einem Hyperwürfel besteht.