Punkt (Geometrie)

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Der Punkt kann als das grundlegende Element der axiomatischen Geometrie aufgefasst werden. Ein solcher Punkt wird als ein nulldimensionales Objekt ohne jede Ausdehnung verstanden, über das nichts weiter ausgesagt werden kann. Sämtliche anderen geometrischen Objekte lassen sich in dieser Auffassung als Mengen von Punkten definieren. So kann etwa eine Gerade in der euklidischen Geometrie als eine eindimensionale Punktmenge, eine Ebene als eine zweidimensionale Punktmenge usw. dargestellt werden. Die Menge aller Punkte ist dann also gerade die Menge derjenigen Objekte, aus denen sich andere Objekte in der axiomatisch festgelegten Weise herleiten lassen. Umgekehrt können alle Objekte, die keine Punkte sind, über Punkte oder aus Punkten konstruierte Objekte definiert werden.

Diese Auffassung ist aber nicht zwingend. Vertauscht man im vorstehenden Text sinngemäß die Worte Punkt und Ebene, so erhält man wieder eine richtige Aussage, wenn man die drei Worte "ohne jede Ausdehnung" fortlässt. Der bedeutende Mathematiker David Hilbert geht daher in dem Standardwerk Grundlagen der Geometrie von den drei Grundelementen Punkt, Gerade und Ebene aus, ohne zwischen ihnen eine Hierarchie zu definieren (siehe Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie).

Der griechische Philosoph Euklid definierte um 300 v. Chr. den Punkt in seinen Elementen als etwas, das keine Teile hat. Mit dieser Definition gelang es ihm in gewisser Weise, die beschriebene zyklische Definition zu verankern. Für die euklidische Geometrie wäre diese Festlegung jedoch keineswegs nötig - sie leistet der Anschauung lediglich eine Hilfestellung. Die Formulierung lässt sich auch im Lichte der damaligen philosophischen Kontroverse zwischen Atomismus und Plenismus verstehen, wobei Euklid hier für die Mathematik eine atomistische Position bezieht.

Von Oskar Perron stammt die folgende Bemerkung ^[1]:

„Ein Punkt ist genau das, was der intelligente, aber harmlose, unverbildete Leser sich darunter vorstellt.“

[Bearbeiten] Andere Arten von Punkten

In der projektiven Geometrie wird der Begriff Punkt erweitert durch den Fernpunkt.

Als Punkt bezeichnet man auch in anderen Bereichen der Mathematik die Elemente gewisser mathematischer Strukturen, siehe dazu die folgenden Artikel:

Häufungspunkt, Isolierter Punkt, Berührungspunkt

In der Physik kennt man den Massenpunkt als größtmöglichste geometrische Abstraktion realer Körper.

[Bearbeiten] Literatur

Manon Baukhage: Der Punkt. Zugegeben, er macht nicht viel her - so klein wie er sich gibt. Tatsächlich aber gehört er zu den großen Rätseln der Welt; in: "P.M. - Peter Moosleitners Magazin Nr. 2/2005 (München: Februar 2005); S. 58-65.