Identitätssatz für holomorphe Funktionen

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Der Identitätssatz für holomorphe Funktionen ist ein wichtiger Satz der Funktionentheorie. Er besagt, dass aufgrund der starken Einschränkungen an holomorphe Funktionen oft schon die lokale Gleichheit zweier solcher Funktionen ausreicht, um diese auch global zu fordern.

[Bearbeiten] Identitätssatz

Seien $f$ und $g$ holomorphe Funktionen auf einer Umgebung $U$ von $z 0$ und $z 0$ ein Häufungspunkt der Koinzidenzmenge $\{z \in U|f(z)=g(z)\}$ , dann existiert eine Umgebung $V$ von $z 0$ mit $f (z) = g (z)$ auf ganz $V$ .

[Bearbeiten] Identitätssatz für Gebiete

Seien $G \subseteq \mathbb{C}$ ein Gebiet und $f$ und $g$ auf diesem Gebiet holomorphe Funktionen. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

$f (z) = g (z)$ für alle $z \in G$ , d.h. die Funktionen gleichen sich auf dem ganzen Gebiet.
Die Koinzidenzmenge $\{z \in G|f(z)=g(z)\}$ hat einen Häufungspunkt in $G$ .
Es gibt ein $z \in G$ , so dass $f (n) (z) = g (n) (z)$ für alle $n \in \mathbb{N}$ , d.h. in einem Punkt von $G$ stimmen die Funktionen und alle ihre Ableitungen überein.

Bemerkung: Im zweiten Punkt ist es essentiell, dass der Häufungspunkt im Gebiet $G$ und nicht auf dessen Rand liegt. Betrachte dazu folgendes Beispiel:

$\sin \frac{1}{z}$ ist holomorph auf $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ , die Folge $z_n=\frac{1}{n\pi}$ liegt darin und konvergiert gegen $0$ (d.h. 0 ist Häufungspunkt), $\sin\frac{1}{z_n}=\sin{n\pi} = 0$ , aber $\sin\frac{1}{z} \not\equiv 0$ .

[Bearbeiten] Folgerungen

Eine wesentliche Folgerung aus dem Identitätssatz ist die eindeutige Fortsetzbarkeit reeller Funktionen:

Kann man ein reelle Funktion holomorph auf die komplexe Ebene fortsetzen (dies muss nicht möglich sein), so ist diese Fortsetzung bereits eindeutig. Der komplexe Sinus ist daher wirklich die einzige holomorphe Fortsetzung des reellen Sinus. Insbesondere gelten auch die Additionstheoreme für den komplexen Sinus.

Ein Sonderfall des Identitätssatzes für Gebiete, der sehr häufig angewendet wird, ergibt sich mit $g = 0$ :

Hat die Nullstellenmenge von $f$ in einem Gebiet $G$ einen Häufungspunkt, so gilt $f\equiv 0$ auf ganz $G$ .

Der Ring der holomorphen Funktionen auf einem Gebiet $G$ ist nullteilerfrei, d.h. aus $fg\equiv 0$ folgt stets $f\equiv 0$ oder $g\equiv 0$ . Seien hierzu $f,g\colon G\to\mathbb{C}$ holomorph mit $f\not\equiv 0$ und $fg\equiv 0$ . Dann gibt es einen Punkt $z 0$ in $G$ und eine Umgebung $U$ von $z 0$ mit $f(z)\neq 0$ für alle $z\in U$ . Dann gilt aber $g|_U\equiv 0$ , und somit $g\equiv 0$ nach dem Sonderfall.