J-Funktion

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten auf deiner Diskussionsseite.

Der korrekte Titel dieses Artikels lautet „j-Funktion“. Diese Schreibweise ist aufgrund technischer Einschränkungen nicht möglich.

Die j-Funktion oder absolute Invariante spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und Modulformen.

[Bearbeiten] Definition

Für $\tau\in\mathbb{H}=\{z\in\mathbb{C};\Im(z)>0\}$ ist

$j(\tau):=12^3\cdot\frac{g_2^3(\tau)}{\Delta(\tau)}$ ,

dabei sind $\Delta(\tau):= g_2^3(\tau)-27g_3^2(\tau)$ die Diskriminante,

$g 2 (τ) = 60 G 4 (τ)$ und $g 3 (τ) = 140 G 6 (τ)$ Eisensteinreihen zum Gitter $\mathbb{Z}\tau+\mathbb{Z}$ .

[Bearbeiten] Eigenschaften

Die j-Funktion ist holomorph auf $\mathbb{H}$ , die Bezeichnung absolute Invariante erklärt sich aus dem Transformationsverhalten unter den Substitutionen der Modulgruppe $\Gamma :=SL_2(\mathbb{Z})=\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\mid a,b,c,d\in\mathbb{Z}, ad-bc=1\}$ , es gilt nämlich:

$j\left( \frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right) = j(\tau)$ , d.h.

j

ist eine Modulfunktion.

Die j-Funktion bildet $\mathbb{H}$ surjektiv auf $\mathbb C$ ab. Für Punkte $z,w\in\mathbb{H}$ gilt $j (z) = j (w)$ dann und nur dann wenn es eine komplexe Zahl $a\in\mathbb{C}^*$ gibt, die das Gitter $\mathbb{Z}+z\mathbb{Z}$ auf das Gitter $\mathbb{Z}+w\mathbb{Z}$ überführt, also genau dann wenn die Quotienten $\mathbb{C}/(\mathbb{Z}+z\mathbb{Z})$ und $\mathbb{C}/(\mathbb{Z}+w\mathbb{Z})$ als elliptische Kurven isomorph sind.

[Bearbeiten] Fourierentwicklung

Die j-Funktion lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln:

$j(\tau)=\frac1q+744+196884q+21493760q^2+864299970q^3+\ldots=\sum_{n=-1}^\infty c_nq^n$

mit $q = e 2πiτ .$

Die Fourierkoeffizienten $c n$ sind alle positive ganze Zahlen (Folge A000521 in OEIS). Für ihr Wachstum gilt die asymptotische Formel

$c_n\cong\frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}}$ ,

die 1932 von Petersson und unabhängig davon 1938 von Rademacher bewiesen wurde.

Die Fourierkoeffizienten entsprechen den Dimensionen der irreduziblen Darstellungen der Monstergruppe ("monstrous moonshine", McKay, John Conway, Norton)

Von „http://de.wikipedia.org../../../j/-/f/J-Funktion_6415.html“

Kategorien: Funktionentheorie | Zahlentheorie