Kovarianz (Physik)

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Dieser Artikel behandelt den physikalischen Begriff der Kovarianz. Für weitere Bedeutungen siehe Kovarianz.

Kovarianz bezeichnet in der Physik, speziell der Relativitätstheorie die Eigenschaft einer Gleichung, ihre Form bei einer Lorentz-Transformationen nicht zu verändern. So sind beispielsweise die Newtonschen Bewegungsgleichungen nicht kovariant, die Klein-Gordon-Gleichung dagegen ist kovariant.

Kovarianz ist somit eine spezielle Invarianz. Die Forderung nach der Kovarianz der Gleichungen, die physikalische Gesetze repräsentieren, entspricht dem Relativitätsprinzip der Relativitätstheorie.

Inhaltsverzeichnis

1 Ko- und Kontravarianz der Vektoren

[Bearbeiten] Ko- und Kontravarianz der Vektoren

Die Physik befasst sich mit Objekten, die im realen Raum vorkommen, macht Beschreibungen dieser Objekte, auch Modell genannt, und Theorien über die Beschreibung. Im günstigsten Fall führt die Theorie zu Anleitungen über Manipulationen an den Objekten, Experiment genannt, woraus sich im günstigen Fall eine Verbesserung der Beschreibung ergibt. Über weite Strecken ist also das reale Objekt von der Beschreibung und den Theorien darüber unabhängig. Diese Invarianz muss sich deshalb auch in der Theorie widerspiegeln.

Der Raum wird durch einen Vektorraum oder eine Mannigfaltigkeit modelliert.
Punkte und Objekte werden durch ihre Ortsvektoren oder Elemente der Mannigfaltigkeit definiert.
Einer konkreten Beschreibung entspricht die Angabe einer Basis des Vektorraums oder einer Karte der Mannigfaltigkeit.

[Bearbeiten] Plattformbeispiel

Die Basis oder Karte entspricht einer Messapparatur und einem Konstruktionswerkzeug zugleich. Man könnte sich - als Beispiel zur Veranschaulichung - ein System aus mehreren Digitalkameras, einem Rechner, welcher aus den Bildern die Koordinaten bestimmt und einem Roboterarm, welcher (ähnlich einem Stiftplotter) beliebige, durch Koordinaten gegebene Punkte anfahren kann, vorstellen. Dem Ganzen sei noch ein fest im Raum befestigter Eichpunkt zugeordnet, welcher in jeder Ausrichtung als Nullpunkt dient.

Die Messapparatur mit Manipulator sei fest auf einer Plattform angebracht, die Plattform sei als ganzes beweglich. Sie sei auf ein zu untersuchendes Objekt, z.B. einen Würfel, gerichtet. Jedem Punkt des Objekts werden also, von der Messapparatur (der Basis bzw. Karte) abhängig, Koordinaten zugeordnet. Jetzt drehen wir die Messapparatur, machen also einen Basiswechsel. Alle Objekte, z.B. der Roboterarm, welche sich mit der Messapparatur mitbewegen, werden kovariant genannt, ihre Koordinaten bleiben invariant. Umgekehrt, bleiben die Koordinaten invariant, so muss sich der durch sie beschriebene Vektor kovariant bewegt haben.

Haben wir unser Untersuchungsobjekt, den Würfel, mitgedreht, so hat er seine Lage im Raum geändert. Um ihn in die Ausgangslage zurückzubefördern, muss er in die entgegengesetzte Richtung gedreht werden. Dabei ändern sich seine Koordinaten, und zwar entgegen der Drehrichtung, was kontravariant genannt wird.

Zusammengefasst:

Soll ein Objekt, welches sich unter allgemeinen Bewegungen kovariant verhält, unter einer Bewegung nur der Basis invariant bleiben, so müssen sich seine Koordinaten in der Basis kontravariant ändern.
Umgekehrt, soll ein Objekt, welches sich unter allgemeinen Bewegungen kontravariant ändert, wie eine Linearform, die eine Ebene (als Objekt im Raum) definiert, invariant unter einem Basiswechsel bleiben, so müssen sich ihre Koordinaten in dieser Basis kovariant ändern.

[Bearbeiten] Mathematisch

Eine Karte (U,φ) auf einer Mannigfaltigkeit M ist eine injektive diffeomorphe Abbildung φ eines Koordinatenraums $U\subset\mathbb{R}^n$ (U offen, konvex) in die Mannigfaltigkeit, $\phi:U\to M$ .

Eine Basis (e₁,...,e_n) in einem reellen Vektorraum V erzeugt eine bijektive Abbildung B des Koordinatenraums $\mathbb{R}^n$ auf den Vektorraum V, $B:\mathbb{R}^n\to V,\;x\mapsto B(x):=x^1e_1+\dots+x^ne_n$ .

Die Karte/Basis ist der Prototyp eines kovarianten Objekts. Eine Funktion $f:M\to\mathbb{R}$ hat damit die Koordinatendarstellung $f\circ\phi$ , deshalb wird auch diese Darstellung kovariant genannt.

Zu jeder Karte/Basis kann man die (lokal) inversen Abbildungen $x:=\phi^{-1}:\phi(U)\to\mathbb{R}^n$ bzw. $x:=B^{-1}:V\to\mathbb{R}^n$ definieren, die Koordinatenabbildungen. Die einzelnen Komponenten (x¹,...,xⁿ) heißen Koordinatenfunktionale.

Die Koordinatenabbildung ist der Prototyp eines kontravariaten Objekts. Ein Punkt P der Mannigfaltigkeit hat die Koordinatendarstellung

x (P) = φ - 1 (P)

, deshalb wird auch diese Darstellung kontravariant genannt.

Liegen zwei Karten (U₁,φ₁) und (U₂,φ₂) für denselben Bereich der Mannigfaltigkeit vor, so hat ein Punkt P der Mannigfaltigkeit zwei Urbilder x₁(P) und x₂(P) in den jeweiligen Koordinatenräumen. Der Übergang vom ersten zum zweiten Koordinatenraum wird von der diffeomorphen Abbildung $\psi_{21}:=\phi_2^{-1}\circ\phi_1$ geleistet, $x_2=\psi_{21}\circ x_1$ . Der Übergang von der ersten Karte zur zweiten erfordert die inverse Transformation, $\phi_2=\phi_1\circ\psi_{21}^{-1}$ .

Im Vektorraum verwendet man häufig die Bezeichnung

A : = ψ 21

für die Koordinatentransformation, dementsprechend lauten die Übergänge x`=Ax und B=AB` bzw. B`=A^-1B.

Dieses unterschiedliche Transformationsverhalten wird in der Physik oft als Anhaltspunkt zur Charakterisierung ko- oder kontravarianter Objekte benutzt.

Siehe auch: Kovariante Ableitung