Krümmungskreis

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Der Krümmungskreis zu einem bestimmten Punkte einer ebenen Kurve C ist der Kreis, der die Kurve in diesem Punkt am besten annähert.

Sein Radius, der Krümmungsradius, ist der Kehrwert der Krümmung der Kurve in . Seine Tangente in diesem Punkt stimmt mit der Tangente der Kurve überein.

Da die Krümmung einer Kurve örtlich variiert, schmiegt sich die Kurve nur in einer infinitesimal kleinen Umgebung an den Krümmungskreis an.

Hinweis: Die Beispielzeichnungen legen nahe, dass der Krümmungskreis stets auf einer Seite der Kurve liegt. Dies ist jedoch nur dann der Fall, wenn die Krümmung der Kurve an dem entsprechenden Punkt ein Extremum hat. Da die Krümmung des Krümmungskreises selbst konstant ist, verläuft eine Kurve mit sich ändernder Krümmung in der Regel auf einer Seite des Berührpunktes innerhalb, auf der anderen außerhalb ihres Krümmungskreises.

Inhaltsverzeichnis 1 Bestimmung des Krümmungsradius 2 Krümmungsradius einer Funktion 3 Beispiel Kreis 4 Beispiel Parabel 5 Siehe auch

[Bearbeiten] Bestimmung des Krümmungsradius

Der Mittelpunkt des Krümmungskreises ist die Grenzlage des Schnittpunktes der Normalen der Kurve, wenn die Kurvenpunkte der Normalen aufeinander zu streben:

t1, t2,... sind die Tangenten, n1, n2,... sind die Normalen in den Punkten P1, P2,... Die Punkte P1, P2,... nähern sich dem Scheitelpunkt S. Die Schnittpunkte K1, K2,... nähern sich dem Krümmungsmittelpunkt K

Ist die Kurve in der Parameterdarstellung gegeben, so ist sein Radius

(1) ,

Der Mittelpunkt des Krümmungskreises hat dann die Koordinaten

(2) und

(3) .

[Bearbeiten] Krümmungsradius einer Funktion

Auch für Funktionen f(x) lässt sich ein Krümmungsradius angeben. Mit der Transformation und wird die Funktion f(x) in eine Parameterdarstellung überführt und es ist:

Die Ableitungen lauten:

;

;

Damit gilt für den Krümmungsradius einer Funktion an der Stelle nach Einsetzen in (1):

(4)

[Bearbeiten] Beispiel Kreis

Die Parameterdarstellung eines Kreises lautet:

Die Ableitungen betragen:

;

;

Eingesetzt in (1) folgt für den Krümmungsradius eines Einheits-Kreises mit dem Radius von eins:

Der Krümmungsradius eines Kreises ist konstant und ist so groß wie sein Radius, r=1.

[Bearbeiten] Beispiel Parabel

Für die Normalparabel f(x) = x² gilt:

f''(x) = 2

Setzt man in (4) ein, folgt für den Krümmungsradius:

An der Stelle x=0 beträgt der Krümmungsradius r=0,5 (siehe Abbildung). Für große x wächst der Krümmungsradius ~ x³, die Kurve wird immer gerader.

[Bearbeiten] Siehe auch

• Klotoide, Krümmungsradius ist proportional zur Kurvenlänge
• Schlangenlinie, alternierendes Krümmungsverhalten