Klotoide
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Die Klotoide, auch Klothoide (v. griech. klôthô „spinnen“), ist eine spezielle ebene Kurve.
Andere Bezeichnungen:
- Cornu-Spirale (nach Marie Alfred Cornu)
- Spinnkurve (da der Graph, der von einem Konvergenzpunkt zum anderen läuft, einer Garnrolle, die „umgesponnen“ wird, ähnelt).
Sie wird als Übergangsbogen bei Kurven im Straßenbau und im Eisenbahnbau eingesetzt. Ihr Krümmungsverlauf nimmt linear zu und dient einer ruckfreien Fahrdynamik.
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[Bearbeiten] Optik
Unter Beugung wird meist die Fraunhofersche Beugung verstanden, bei der Strahlen aus dem Unendlichen (Parallelstrahlen) durch Linsen auf eine endliche Ebene abgebildet werden. Im Gegensatz dazu beschreibt die Fresnelsche Beugung Beugungserscheinungen im Nahfeld. Beide Formen der Beugung sind zwei Grenzfälle des Kirchhoffschen Beugungsintegrals. Beispielsweise beschreiben die Fresnelschen Integrale S(x) und C(x) die Intensität der Lichtverteilung hinter einer beleuchteten Kante:
.
Zusammen bilden sie die Parameterdarstellung der Klotoide.
- Die Konvergenzpunkte liegen bei:
- Die Länge L eines Kurvenelements l der Klotoide, vom Ursprung aus gemessen, beträgt:
, da S'(t)2 + C'(t)2 = 1- Die Länge ist unbeschränkt.
- Die Krümmung 1/R (R ist der Krümmungsradius) ist proportional zur Länge der Klotoide.
[Bearbeiten] Verkehrswegebau
Eine Trasse setzt sich aus Trassierungselementen mit konstanter Krümmung, wie Geraden und Kreisen sowie Klotoiden als Übergangsbögen zusammen.
Die Klotoide ist die Kurve, bei der sich die Krümmung linear mit der Länge ändert. Sie lässt sich zwischen Gerade und Kreis einpassen. Sie wird auch bei gleichsinnigen Kreisbögen (Eilinie) sowie Wendelinien (S-Kurve) verwendet. Für den Fahrer hat das den Vorteil/Komfort, gleichmäßig am Lenkrad drehen zu können (bei gleich bleibender Geschwindigkeit).
Würden Gerade und Kreis bzw. Kreise mit unterschiedlichen Radien direkt aneinander stoßen, ergäbe sich eine sprunghafte Änderung der Krümmung, so dass theoretisch der Autofahrer im Punkt der Krümmungsänderung anhalten müsste, um die Vorderräder auf die geänderte Krümmung auszurichten. Erst danach könnte er mit neuem konstanten Lenkeinschlag bis zur nächsten Krümmungsänderung weiterfahren, wo sich das Spiel wiederholen würde. Anders bei einer Trassierung mit Übergangsbögen: Das kontinuierliche Drehen am Lenkrad findet über die gesamte Klotoidenlänge statt, und nur dort, bis zum nächsten Kreisbogen bzw. zur nächsten Geraden.
Eine ruckhafte Drehung am Lenkrad wäre wegen der schlagartigen Zu- oder Abnahme der Querbeschleunigung unangenehm und gefährlich, auch wenn der Effekt von der Breite der Straße abgemildert wird. Daher werden in die Achsen der Straßen geeignete Übergangsbögen mit einer gleichmäßigen Änderung der Krümmung eingebaut. Bei Bahntrassen ist die Verwendung von ruckfreien Übergangsbögen bei Steigungen erwünscht. Bei Achterbahnen lassen sie die entstehenden Beschleunigungskräfte langsam auf den Maximalwert anwachsen und mindern dadurch die Belastung der Passagiere im Vergleich mit einer schlagartig einsetzenden Beschleunigung.
Je nach Bedarf werden spezielle Klotoidenfolgen zur Trassierung verwendet:
Neben Klotoiden finden auch Übergangselemente nach Schramm und Bloss Verwendung.
[Bearbeiten] Technisches
Der Zusammenhang zwischen Krümmungsradius R und der Länge L beträgt:
Die Konstante, der Kurvenparameter, wird als A2 geschrieben. A ist im gesamten Kurvenverlauf konstant. Am Anfang (L=0) ist der Radius unendlich (Gerade), mit zunehmender Länge wird der Radius kleiner und erreicht schließlich den des Kreisbogens, in diesem Punkt haben Klotoide und Kreisbogen den gleichen Radius. Für die Einheitsklotoide ist A = 1. Aus ihr lassen sich alle anderen ableiten - mit den Absteckmaßen, die vor Ort benötigt werden.
Klotoiden lassen sich nur numerisch bestimmen. Deshalb waren Planer von Verkehrswegen früher auf Tabellen angewiesen oder rechneten mit kubischen Parabeln, die für kleine Werte gute Näherungen für die lineare Krümmungszunahme liefern.
[Bearbeiten] Historie
Pioniere ihrer Untersuchung waren Max von Weber im Jahre 1890 und der französische Physiker Alfred Cornu 1874 (daher auch die Bezeichnung Cornu-Spirale). 1937 schließlich fand sie durch L. Oerley erstmals Eingang in die Straßenplanung und wurde 1954 mit einem umfassenden Tafelwerk in die Richtlinien integriert.
[Bearbeiten] Siehe auch
[Bearbeiten] Literatur
Günter Weise/Walter Durth u.a. : Straßenbau Planung und Entwurf. Verlag für Bauwesen, Berlin 1997, 3-345-00579-4
Professor Dr. Ing. Hugo Kasper: Die Klothoide als Trassierungselement: Ferd. Dümmlers Verlag: Bonn 1954
