Liouvillesche Zahl
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Als Liouvillesche Zahl bezeichnet man in der Zahlentheorie eine reelle Zahl x mit der Eigenschaft, dass für alle positiven ganzen Zahlen n ganze Zahlen p und q (q > 1) existieren, so dass
Man kann leicht beweisen, dass Liouvillsche Zahlen irrationale Zahlen sind. Angenommen, es wäre anders, dann gäbe es ganze Zahlen c und d mit 
. Sei n eine positive ganze Zahl, sodass 2n−1 > d. Wenn dann p und q ganze Zahlen sind, sodass q>1 und p/q ≠ c/d, so ist
- |x − p/q| = |c/d − p/q| ≥ 1/dq > 1/(2n−1 q) ≥ 1/qn
Widerspruch.
1844 zeigte Joseph Liouville, dass Zahlen mit dieser Eigenschaft nicht nur irrational sind, sondern auch immer transzendent. Damit gab er erstmals eine transzendente Zahl an, die Liouvillsche Konstante:
Alle Liouvilleschen Zahlen sind transzendent, allerdings sind nicht alle transzendenten Zahlen liouvillesch.
