Littles Gesetz

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Littles Gesetz, auch als Littles Theorem oder Satz von Little bezeichnet, ist eine bedeutende Gesetzmäßigkeit in der Warteschlangentheorie. Es wurde 1961 von John D. C. Little formuliert und bewiesen.

Littles Gesetz besagt, dass die durchschnittliche Anzahl von Kunden in einem Warteschlangenmodell, welches sich in einem stabilen Zustand befindet, gleich dem Produkt ihrer durchschnittlichen Ankunftsrate und ihrer durchschnittlichen Verweildauer ist.

Obwohl dies intuitiv sinnvoll erscheint, ist es ein beachtenswertes Ergebnis: Es impliziert, dass dieses Verhalten vollkommen unabhängig von den benutzten Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist und somit keine Annahmen über die Verteilung der Ankunftszeiten oder die Warteschlangendisziplin getroffen werden müssen. So ist die durchschnittliche Wartezeit bei FIFO genauso groß wie bei LIFO.

Littles Gesetz gilt nicht nur für eine Bedienstation, sondern auch für Netzwerke aus Warteschlangensystemen. Beispielsweise kann man in einer Bank eine Warteschlange als Subsystem ansehen und jeden Schalter als weiteres Subsystem - Littles Gesetz kann sowohl auf beide Subsysteme einzeln, als auch auf das gesamte System angewendet werden. Die einzige Bedingung ist, dass das System stabil ist - es darf sich nicht in einem Übergangsstadium (Start-, Endphase) befinden.

[Bearbeiten] Beispiel

Es existiert ein kleines Geschäft mit einem Einkaufsraum und einem Tresen, an dem jeweils nur ein Kunde bedient werden kann. Das System sieht also grob wie folgt aus:

Eingang → Einkaufsraum → Tresen → Ausgang

Die drei wichtigen Messwerte sind die durchschnittliche Zeit, die ein Kunde am Tresen verbringt, die Auslastung des Tresens und die Rate, mit der sich die Kunden durch das System bewegen - diese Rate möchte der Geschäftsinhaber erhöhen.

Wenden wir nun Littles Gesetz auf den Tresen an: Die durchschnittliche Anzahl der Kunden am Tresen ist die Rate mit der sie sich durch das System bewegen, multipliziert mit der Bedienzeit. Da die Anzahl der Kunden am Tresen der Auslastung entspricht, kann gezeigt werden, dass die Rate gleich der Auslastung geteilt durch die Zeit pro Kunde ist.

Um also ein produktives Geschäft zu führen, sollte der Geschäftsinhaber anstreben, die Bedienzeit am Tresen minimal und dessen Auslastung so hoch wie möglich halten. Dies kann z.B. dadurch geschehen, dass der Verkäufer gezielt auf Personen zugeht, die sich nur umschauen und sie mit 'Kann ich Ihnen helfen?' anspricht, um sie zu einer zeitoptimierten Entscheidung zu zwingen. Andere Möglichkeiten die Tresenauslastung zu erhöhen wären, die Anzahl der Kunden im Geschäft zu erhöhen oder eine Warteschlange vor dem Tresen einzuführen.