Magma (Mathematik)
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
|
berührt die Spezialgebiete |
|
umfasst als Spezialfälle |
|
In der Mathematik bezeichnet man eine nichtleere Menge M zusammen mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung M × M → M als Magma (manchmal auch Gruppoid oder Binar). Die Bezeichnung Gruppoid wird auch für eine andere mathematische Struktur verwendet. Diese andere Definition befindet sich im Artikel Gruppoid.
Die innere Verknüpfung ist per Definition abgeschlossen. Ansonsten hat sie keine speziellen Eigenschaften (siehe Gruppentheorie). Falls doch, so kann es sich bei dem Magma z. B. um eine Halbgruppe, ein Monoid oder eine (Abelsche) Gruppe handeln.
Ein Beispiel für ein Magma sind die ganzen Zahlen mit der Subtraktion 
.
Dagegen sind die natürlichen Zahlen mit der Subtraktion 
kein Magma, da die Subtraktion zweier beliebiger natürlicher Zahlen nicht immer eine natürliche Zahl ergibt:
, aber 
[Bearbeiten] Freies Magma
Für jede nichtleere Menge X kann man das freie Magma über X definieren als die Menge aller endlichen Binärbäume, deren Blätter mit Elementen von X beschriftet sind. Das Produkt AB zweier Bäume A und B ist der Baum, dessen Wurzel den linken Unterbaum A und den rechten Unterbaum B hat. Aufschreiben kann man die Elemente des freien Magma durch vollständig geklammerte Ausdrücke.
Sei zum Beispiel X={a,b,c}. Dann enthält das freie Magma über X unter anderem die (paarweise verschiedenen) Elemente
- a, b, c, ab, ba, (ab)c, a(bc), (aa)(bb), (a(ab))b, (ab)(ab).
