Monoidring

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Ein Monoidring kann als Verallgemeinerung eines Polynomrings aufgefasst werden. Dabei werden die Exponenten (Hochzahlen) der Polynome sozusagen durch Elemente aus einem Monoid ersetzt, was im folgenden exakt definiert wird.

[Bearbeiten] Definition

Sei $R$ ein Ring und $G$ ein Monoid, dann ist

$R[G]:=\{\alpha\colon G\to R {\big |} \alpha(x)=0$ für alle bis auf endlich viele $x}$

mit der Addition

(α + β)(x): = α(x) + β(x)

und der Faltung

(αβ)(z): =	∑	α(x)β(y)
	xy = z

als Multiplikation ein Ring. Die Konstruktion ist der des Polynomrings nachempfunden. Man schreibt $a \cdot x$ oder einfach ax für die Abbildung $\alpha \in R[G]$ , die an der Stelle x den Wert a und ansonsten 0 annimmt. Beispielsweise gilt dann

$(a\cdot x)(b\cdot y) = (ab) \cdot (xy)\quad\mathrm{f\ddot ur}\ a,b\in R\ \mathrm{und}\ x,y\in G.$

Ist G eine Gruppe, so heißt R[G] Gruppenring oder Gruppenalgebra; auch die Schreibweise RG ist üblich.

[Bearbeiten] Eigenschaften

R[G] ist genau dann ein kommutativer Ring, wenn G als Monoid kommutativ ist. R[G] hat ein Einselement, falls R ein Einselement besitzt.
Jedes Element $\alpha \in R[G]$ lässt sich eindeutig schreiben als $\alpha=\sum_{x\in G} a_x\cdot x$ mit $a x : = α(x)$
$R$ und $G$ sind auf natürliche Weise in $R [G]$ eingebettet, nämlich durch die injektiven Ringhomomorphismen $f_0:R \to R[G],~f_0(r)=r\cdot e$ und $f_1: G\to R[G],~f_1(x)=1\cdot x$ , wobei $1\cdot x$ wie oben definiert ist.
Falls G ein Monoid ist und A,B kommutative Ringe, $f:A\to B$ ein Ringhomomorphismus, dann gibt es einen eindeutigen Homomorphismus $h:A[G]\to B[G]$ . sodass $h\left(\sum_{x\in G} a_x x\right)=\sum_{x\in G} f(a_x)x$

[Bearbeiten] Beispiele

R[N₀] ist isomorph zum Polynomring in einer Unbestimmten über R.
Ist allgemeiner G ein freies kommutatives Monoid in n Erzeugern, so ist R[G] isomorph zum Polynomring in n Unbestimmten über R.

[Bearbeiten] Verallgemeinerungen

Es sei $G$ eine lokalkompakte topologische Gruppe. Ist $G$ nicht diskret, so enthält der Gruppenring $\mathbb C[G]$ keine Information über die topologische Struktur von $G$ . Deshalb nimmt seine Rolle die Faltungsalgebra der integrierbaren Funktionen ein: es sei $μ$ ein linksinvariantes Haarmaß auf $G$ . Dann bildet der Raum $L 1 (G,μ)$ mit der Faltung