Insieme nullo
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Il termine insieme nullo è talvolta usato come sinonimo di insieme vuoto. In altri casi, è usato nel senso più generale di insieme trascurabile
Nella teoria della misura, un insieme nullo è un insieme trascurabile ai fini della misura usata. La classe degli insiemi nulli dipende dalla misura considerata. Quindi di dovrebbe parlare di insiemi m-nulli per la data misura m.
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[modifica] Definizione
Sia X uno spazio misurabile, sia m una misura su X, e sia N un insieme misurabile in X. Se m è una misura positiva, allora N è nullo sse la sua misura m(N) è zero. Se m non è una misura positiva, allora N è m-nullo se N è |m|-nullo, dove |m| è la variazione totale di m; questo è più forte che richiedere m(N) = 0.
Un insieme non misurabile è considerato nullo se è un sottoinsieme di un insieme misurabile nullo. Alcune fonti richiedono che un insieme nullo sia misurabile: comunque gli insiemi nulli sono sempre trascurabili per i fini della teoria della misura.
Parlando di insiemi nulli nell'n-spazio euclideo Rn è di solito sottointeso che la misura usata è quella di Lebesgue.
[modifica] Proprietà
L'insieme vuoto è sempre un insieme nullo. Più in generale, ogni unione numerabile di insiemi nulli è nulla. Ogni sottoinsieme misurabile di un insieme nullo è nullo. Insieme, questi fatti mostrano che gli insiemi m-nulli di X formano un sigma-ideale su X. Allo stesso modo gli insiemi m-nulli misurabili formano un sigma-ideale della sigma-algebra degli insiemi misurabili. Quindi gli insiemi nulli possono essere interpretati come insiemi trascurabili, definendo una nozione di quasi ovunque.
[modifica] Nella misura di Lebesgue
Per la misura di Lebesgue su Rn, tutti gli insiemi di un punto sono nulli, e quindi tutti gli insiemi numerabili sono nulli. In particolare, L'insieme Q dei numeri razionali è un insieme nullo, nonostante sia denso in R. L'insieme di Cantor è un esempio di insieme nullo non numerabile in R.
Più in generale, un sottoinsieme N di R è nullo se e solo se:
- Dato un qualsiasi numero positivo ε, esiste una successione {In} di intervalli tali che N è contenuto nell'unione degli In e la lunghezza totale degli In è minore di ε.
Questa condizione può essere generalizzata a Rn, usando n-cubi al posto degli intervalli. Di fatto l'idea può essere resa sensata in ogni varietà topologica, anche se non è disponibile una misura di Lebesgue.
[modifica] Applicazioni
- Gli insiemi nulli giocano un ruolo chiave nella definizione dell'integrale di Lebesgue: se le funzioni f e g sono uguali ovunque tranne che in un insieme di misura nulla, allora f è integrabile se e solo se g lo è, e gli integrali sono uguali.
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Per approfondire, vedi la voce Spazi di Lebesgue. |
- Uno spazio di misura in cui tutti tutti gli insiemi contenuti in un insieme nullo siano misurabili è detto completo.
Ogni misura non completa può essere completata andando a formare una misura completa, assumendo che gli insiemi nulli abbiano misura zero. La misura di Lebesgue è un esempio di misura completa; in alcune costruzioni è definita come il completamento di una misura di Borel non completa.
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Per approfondire, vedi la voce Spazio di misura. |
[modifica] Voci correlate
[modifica] Bibliografia
- Paul R. Halmos. Measure Theory. New York, Springer-Verlag, 1974. ISBN 0-387-90088-8
