Orthogonale Gruppe
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Die orthogonale Gruppe O(n,F) ist die Gruppe aller orthogonalen n×n-Matrizen mit Koeffizienten aus einem Körper F. Wenn aus dem Kontext klar ist, dass der Körper F die Menge R der reellen Zahlen ist, schreibt man auch O(n).
Die orthogonale Gruppe O(n,F) ist Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe GL(n,F). Wenn F die Charakteristik 2 hat, fallen O(n,F) und die spezielle orthogonale Gruppe SO(n,F) zusammen.
Jede orthogonale Matrix hat die Determinante +1 oder -1.
[Bearbeiten] Reelle orthogonale Gruppen
Die orthogonale Gruppe O(n,R) über dem Körper R der reellen Zahlen bildet eine reelle kompakte Lie-Gruppe der Dimension n(n-1)/2. Sie hat zwei zusammenhängende Komponenten; die Komponente, die das Einselement enthält, ist die spezielle orthogonale Gruppe SO(n,R)
Die Elemente der O(n,R) beschreiben Isometrien im n-dimensionalen Euklidischen Raum, die den Ursprung invariant lassen (Drehungen, Punktspiegelungen am Ursprung und Spiegelungen an Ebenen, die den Ursprung enthalten).
Die Lie-Algebra der O(n,R) besteht aus schiefsymmetrischen reellen Matrizen.
