Panjer-Verteilung
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Die Panjer-Verteilung (nach Harry Panjer) ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, welche die Verteilungen Negative Binomialverteilung, Binomialverteilung und Poisson-Verteilung in einer Verteilungsklasse vereint. Sie wird in der Versicherungsmathematik eingesetzt als Schadenzahlverteilung, da ihre spezielle rekursive Struktur einen effizienten Algorithmus zur Berechnung der Gesamtschadenverteilung eines Versicherungsportefeuilles ermöglicht.
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[Bearbeiten] Charakterisierung
Die Panjer-Verteilung ist durch folgende Rekursionsvorschrift für die Zähldichte pk = P(X = k) charakterisiert:
wobei 
gelten muss. Die Wahrscheinlichkeit p0 ergibt sich aus der Normierungsbedingung
[Bearbeiten] Eigenschaften
Erwartungswert und Varianz der Panjer-Verteilung sind gegeben durch
Es ist
woraus folgt, dass
[Bearbeiten] Spezialfälle
Mit 
erhält man die Poisson-Verteilung. In diesem Fall ist also V(X) = E(X).
Mit 
erhält man die Binomialverteilung. In diesem Fall ist V(X) < E(X).
Mit 
erhält man die Negative Binomialverteilung (Zählung der Misserfolge). Hier ist nun V(X) > E(X). Diese Eigenschaft nennt man Overdispersion.
[Bearbeiten] Literatur
- Mack, Thomas: Schadenversicherungsmathematik, 2. Auflage, Verlag Versicherungswirtschaft 2002, ISBN 388487957X
