Poincaré-Abbildung

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Poincaré-Schnitt mit einer Ebene Σ mit P als die Poincaré-Abbildung.

Gegeben sei die Differentialgleichung zum Anfangswert x(τ) = x₀ mit der Lösung x(x₀,t,τ), wobei Eindeutigkeit vorausgesetzt wird. t sei reell. Es seien t = a und t = b zwei feste Stellen. Die Poincaré-Abbildung P, benannt nach dem französischen Mathematiker Henri Poincaré, ordnet dem Anfangswert an der Stelle a den Wert der entsprechenden Lösung an der Stelle b zu, also . Aus der Eindeutigkeit folgt, dass P injektiv ist.

Mit anderen Worten: kann man die Systemfunktion Φ des zu konstruierenden zeitdiskreten dynamischen Systems finden, also P^{n + 1} = Φ(Pⁿ), dann bezeichnet man P als die Poincaré-Abbildung. In seltenen Fällen kann man die Poincaré-Abbildung analytisch bestimmen. Zunehmend kann diese numerisch ermittelt werden.

Anschaulich betrachtet stellt man sich eine stroboskopische Beleuchtung der Phasenkurve γ eines dynamischen Systems vor. An Stelle der Phasenkurve zeichnet man nur diskrete Punkte dieser Kurve in festen Zeitabständen bzw. die Durchstoßpunkte dieser Kurve beim Durchgang durch eine vorher festgelegte Ebene. Der Vorteil einer eindeutigen Poincaré-Abbildung liegt darin, dass man diese viel leichter und tiefer untersuchen kann als das Originalsystem.

Der Begriff Poincaré-Abbildung (Poincaré map, first return map) ist zu unterscheiden von Poincaré-Schnitt.