Dynamisches System

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Unter einem dynamischen System versteht man mathematische Modelle für zeitabhängige Prozesse (so genannter Zustände). Der Begriff des dynamischen Systems in heutiger Form geht auf den Mathematiker George David Birkhoff zurück. Dynamische Systeme finden im Alltag reichlich Anwendung und erlauben Einblicke nicht nur in vielen Bereichen der Mathematik, wie beispielsweise in die Zahlentheorie oder in die Stochastik, sondern auch in der Physik oder Biologie. So betrachtet man Bewegungsabläufe eines Pendels oder die zeitliche Veränderung von Populationszahlen zweier konkurrierender Spezies im Räuber-Beute-Modell.

Man unterscheidet zwischen kontinuierlicher oder diskreter Zeitentwicklung. Bei einem diskreten System interessiert man sich für die Zustandsänderungen bei einem Zeitsprung. Bei einem kontinuierlichen dynamischen System wird für jede beliebige Zeitspanne die Zustandsänderung beschrieben. Wichtigste Beispiele für kontinuierliche dynamische Systeme sind autonome gewöhnliche Differenzialgleichungen.

Inhaltsverzeichnis

1 Formale Definition
2 Erläuterung
3 Wichtige Spezialfälle
4 Beispiel eines differenzierbaren dynamischen Systems aus der Physik

[Bearbeiten] Formale Definition

Ein dynamisches System ist rein formal gegeben durch eine Gruppenwirkung. Genauer gesagt ist ein dynamisches System ein Tripel $(G,\Omega,\varphi)$ , wobei $(G,\cdot,e)$ eine Gruppe, $Ω$ eine nichtleere Menge und $\varphi: \Omega \times G \rightarrow \Omega$ eine Abbildung sei, so dass für alle $x \in \Omega, g,h \in G$ gilt

$\varphi(x,e)=x$ und
$\varphi(\varphi(x,g),h) = \varphi(x,g\cdot h)$ .

[Bearbeiten] Erläuterung

Unter Eigenschaft 1 aus der Definition versteht man die Identitätseigenschaft, d.h. ein Zustand verändert sich nicht nach 0 Zeiteinheiten. Eigenschaft 2 gibt die Halbgruppeneigenschaft wider. Man gelangt zunächst in s Zeiteinheiten von x nach $\varphi(x,s)$ und anschließend in t Zeiteinheiten von $\varphi(x,s)$ nach $\varphi(x,s+t)$ . Alternativ zu 2 schreibt man auch $\varphi_{t+s}=\varphi_{t} \circ \varphi_{s}$ .

In der Theorie dynamischer Systeme interessiert man sich besonders bei gegebenem x für das Verhalten von $\varphi(x,t)$ für $t \rightarrow \pm \infty$ . Hierbei sind Grenzmengen von großer Bedeutung. Die wichtigsten Grenzmengen sind Fixpunkte und periodische Orbits. Gerade in nichtlinearen Systemen trifft man aber auch komplexe nichtperiodische Grenzmengen an. Diese werden in der Chaostheorie ausführlich untersucht.

[Bearbeiten] Wichtige Spezialfälle

Im folgenden seien einige wichtige Speziallfälle aufgeführt.

stetige dynamische Systeme: $G$ ist topologische Gruppe, $Ω$ ist topologischer Raum und $\varphi$ ist stetig.
differenzierbare dynamische Systeme: $(G,\cdot,e) = (\mathbb{R},+,0)$ , $Ω$ ist differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\varphi$ ist differenzierbar.
reelles dynamisches System: $(G,\cdot,e) = (\mathbb{R},+,0)$ .
symbolische Dynamik: $(G,\cdot,e) = (\mathbb{N}_0,+,0)$ oder $(G,\cdot,e) = (\mathbb{Z},+,0)$ , $\Omega = A^\mathbb{N}_0$ bzw. $\Omega = A^\mathbb{Z}$ für ein Alphabet $A$ ( $Ω$ ist also eine unendliche Sequenz von Symbolen aus $A$ ), $\varphi$ ist eine sogenannte Shiftabbildung, die die Symbole der Sequenz um eine Stelle verschiebt.

[Bearbeiten] Beispiel eines differenzierbaren dynamischen Systems aus der Physik

Sei M eine kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit, beispielsweise eine nichtdegenerierte Energiefläche im $\mathbb{R}^n$ und $X : M \to TM$ ein glattes Vektorfeld über M. Dann existiert nach dem Satz von Picard-Lindelöf eine einparametrige Gruppe von Diffeomorphismen $\varphi(t) : M \to M$ mit

$\varphi(0) = \mathop{id}_M$

$\frac{d}{dt}\varphi(t) = X(\varphi(t))$

$\varphi(t)\circ\varphi(s) = \varphi(s+t) \qquad$ für alle s,t aus $\mathbb{R}.$

Halten wir einen Punkt x aus M fest, dann beschreibt $\varphi(t,x)$ die Lösungenskurve der Differentialgleichung X auf M zum Anfangswert x. Man nennt diese zum glatten Vektorfeld X korrespondierende 1-paramatrige Gruppe den Fluss auf M. Schränkt man Parametrisierung auf $\mathbb{R}_+$ ein, dann erhalten wir eine dynamische Halbgruppe, betrachten wir die Zeit-1-Abbildung