Projektive Auflösung

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Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie ist eine projektive Auflösung eine lange exakte Sequenz aus projektiven Objekten, die in einem gegebenen Objekt endet.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Existenz
3 Eigenschaften
4 Siehe auch

[Bearbeiten] Definition

Formal sei $C$ eine abelsche Kategorie (oder auch die Kategorier Grp der Gruppen) und $A$ ein Objekt aus $C$ . Dann heißt eine lange exakte Sequenz der Form

$\cdots\rightarrow P_2\rightarrow P_1\rightarrow P_0\rightarrow A\rightarrow 0$

projektive Auflösung von $A$ , wenn sämtliche $P i$ projektiv sind.

[Bearbeiten] Existenz

Ist in der Kategorie $C$ jedes Objekt Quotient eines projektiven Objektes, d.h. gibt es zu jedem Objekt $X\in \operatorname{Ob}(C)$ einen Epimorphismus $P\rightarrow X$ , in dem $P$ projektiv ist, so sagt man auch, $C$ besitze genügend projektive Objekte.

Unter diesen Bedingungen gibt es auch zu jedem Objekt $A$ eine projektive Auflösung. Zunächst existiert nämlich nach Voraussetzung ein Epimorphismus $p_0: P_0\rightarrow A$ , dann weiter ein Epimorphismus $p_1: P_1\rightarrow \operatorname{ker}(p_0)$ und dann per Induktion jeweils weiter $p_{n+1}: P_{n+1}\rightarrow \operatorname{ker}(p_n)$ .

[Bearbeiten] Eigenschaften

Ist

$\cdots\rightarrow P_2\rightarrow P_1\rightarrow P_0\rightarrow A\rightarrow 0$

eine projektive Auflösung und

$\cdots\rightarrow A'_2\rightarrow A'_1\rightarrow A'_0\rightarrow A'\rightarrow 0$

exakt, so lässt sich jeder $C$ -Homomorphismus $f:A\rightarrow A'$ (nicht notwendigerweise eindeutig) zu einem kommutativen Diagramm

$\begin{matrix} \cdots\rightarrow & P_2 & \rightarrow & P_1 & \rightarrow & P_0 & \rightarrow & A & \rightarrow 0 \\ \cdots & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \cdots\rightarrow & A'_2 & \rightarrow & A'_1 & \rightarrow & A'_0 & \rightarrow & A' & \rightarrow 0 \end{matrix}$