Injektive Auflösung

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Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie ist eine injektive Auflösung eine lange exakte Sequenz aus injektiven Objekten, die mit einem gegebenen Objekt beginnt.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Existenz
3 Eigenschaften
4 Siehe auch

[Bearbeiten] Definition

Formal sei $C$ eine abelsche Kategorie und $A$ ein Objekt aus $C$ . Dann heißt eine lange exakte Sequenz der Form

$0 \rightarrow A \rightarrow I_0 \rightarrow I_1 \rightarrow I_2 \rightarrow \cdots$

injektive Auflösung von $A$ , wenn sämtliche $I i$ injektiv sind.

[Bearbeiten] Existenz

Ist in der Kategorie $C$ jedes Objekt Unterobjekt eines injektiven Objektes, d.h. gibt es zu jedem Objekt $X\in \operatorname{Ob}(C)$ einen Monomorphismus $X\rightarrow I$ , in dem $I$ injektiv ist, so sagt man auch, $C$ besitze genügend injektive Objekte.

Unter diesen Bedingungen gibt es auch zu jedem Objekt $A$ eine injektive Auflösung. Zunächst existiert nämlich nach Voraussetzung ein Monomorphismus $i_0: A\rightarrow I_0$ , dann weiter ein Monomorphismus $i_1: \operatorname{coker}(i_0) \rightarrow I_1$ und dann per Induktion jeweils weiter $i_{n+1}: \operatorname{coker}(i_n) \rightarrow I_{n+1}$ .

[Bearbeiten] Eigenschaften

Ist

$0\rightarrow A\rightarrow I_0\rightarrow I_1\rightarrow I_2\rightarrow \cdots$

eine injektive Auflösung und

$0\rightarrow A'\rightarrow A'_0\rightarrow A'_1\rightarrow A'_2\rightarrow \cdots$

eine exakte Sequenz, so lässt sich jeder $C$ -Homomorphismus $f:A\rightarrow A'$ (nicht notwendigerweise eindeutig) zu einem kommutativen Diagramm

$\begin{matrix} 0\rightarrow & A & \rightarrow & I_0 & \rightarrow & I_1 & \rightarrow & I_2 & \rightarrow \cdots \\ & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \cdots\\ 0\rightarrow & A' & \rightarrow & A'_0 & \rightarrow & A'_1 & \rightarrow & A'_2 & \rightarrow \cdots \\ \end{matrix}$