Quadratischer Zahlkörper

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Ein quadratischer Zahlkörper ist eine Körpererweiterung K/Q der Form

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$

mit einer rationalen Zahl d, die kein Quadrat in Q ist. Dies sind genau die Erweiterungen vom Grad $2$ über Q. Ist $d > 0$ , so heißt K reell-quadratischer Zahlkörper, sonst imaginär-quadratischer Zahlkörper. Solche Körper sind eine grundlegende Klasse von Beispielen in der algebraischen Zahlentheorie. Die Untersuchungen von ihnen reichen sehr tief, anfänglich als Teil der Theorie der quadratischen Formen. Es gibt immer noch einige ungelöste Fragen.

Ohne Einschränkung kann d als quadratfreie ganze Zahl angenommen werden. Die Diskriminante des Zahlkörpers ist dann d, wenn d kongruent 1 modulo 4 ist, und andernfalls $4 d$ . Im Spezialfall $d = - 1$ erhält man die rationalen Gaußschen Zahlen, für $d = - 3$ die rationalen Eisenstein-Zahlen (jeweils deren Quotientenkörper).

Ein klassisches Beispiel der Konstruktion eines quadratischen Zahlkörpers ist es, den eindeutig bestimmten quadratischen Zwischenkörper eines von einer primitiven $p$ -ten Einheitswurzel gebildeten Kreisteilungskörpers zu nehmen, $p$ eine ungerade Primzahl. Die Eindeutigkeit folgt daraus, dass die Galoisgruppe von $\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q}$ isomorph zu $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ und damit zyklisch ist. Durch Betrachten der Verzweigung erkennt man, dass der quadratische Zwischenkörper gleich $\mathbb{Q}(\sqrt{p^*})$ mit $p^* = (-1)^{\frac{p-1}{2}}p$ ist; die Diskriminante von $\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q}$ ist nämlich eine $p$ -Potenz, und daher muss dies auch für die Diskriminante des quadratischen Zwischenkörpers gelten. Nach obiger Aussage muss daher $p^* \equiv 1 \mod 4$ sein, da sonst auch $2$ verzweigt ist. Dasselbe gilt auch für beliebige Potenzen einer ungeraden Primzahl.

Der Körper $\mathbb{Q}(\zeta_8)/\mathbb{Q}$ besitzt dagegen genau die drei Körper $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$ , $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ und $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ als quadratische Zwischenkörper; dies liegt daran, dass die Galoisgruppe der Erweiterung $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times \simeq C_2 \times C_2$ nicht mehr zyklisch ist (siehe prime Restklassengruppe).

[Bearbeiten] Primidealzerlegung

Sei $p$ ein Primelement von Q. Dann können folgende Fälle für die Primidealzerlegung von $p$ in dem Ganzheitsring $\mathcal{O}_K$ eines quadratischen Zahlkörpers $K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ , $d$ quadratfrei, auftreten:

$p$ ist träge, d.h. $(p)$ ist auch Primideal von $K$ , oder
$p$ ist zerlegt, d.h. $(p) = \mathfrak{p}\mathfrak{p}'$ mit zwei zueinander konjugierten Primidealen $\mathfrak{p}, \mathfrak{p}'$ von $\mathcal{O}_K$ , oder
$p$ ist verzweigt, d.h. $(p) = \mathfrak{p}^2$ ist das Quadrat eines Primideals $\mathfrak{p}$ von $\mathcal{O}_K$ .

Der dritte Fall tritt genau für die (endlich vielen) Primteiler der Diskriminante auf. Die anderen beiden Fälle treten in einem gewissen Sinne »gleichhäufig« auf; dies folgt aus dem Chebotarevschen Dichtigkeitssatz. Ein ungerades primes $p$ , das kein Teiler von $d$ ist, ist genau dann zerlegt, wenn das Legendre-Symbol $\left(\frac{d}{p}\right)$ gleich $+ 1$ ist, andernfalls träge.

Diese Aussage für die Trägheit gilt auch für die Zerlegung in Primelemente; im Allgemeinen lassen sich solche Aussagen aber genau dann auf Primelemente fortsetzten, wenn $\mathcal{O}_K$ Hauptidealring ist, also eindeutige Zerlegung in Primelemente besitzt, oder äquivalenterweise Klassenzahl $1$ hat.