Relativ innerer Punkt
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Der Begriff Relativ Innerer Punkt ist ein topologischer Begriff, der in der Mathematischen Optimierung gebraucht wird.
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[Bearbeiten] Definition
Es sei M eine Teilmenge eines n-Dimensionalen reellen Vektorraums V, aff(M) die affine Hülle von M in V. Dann heißt ein Punkt x aus M relativ innerer Punkt von M, wenn es in dem affinen Raum aff(M), versehen mit der Unterraumtopologie, eine Umgebung von x gibt, die ganz in M enthalten ist.
[Bearbeiten] Beispiele
[Bearbeiten] Quader
Wir betrachten einen Quader im dreidimensionalen (reellen) Raum. Dann gilt:
- Ein Punkt im Inneren des Quaders ist relativ innerer Punkt des Vollquaders
- Ein Punkt auf einer Seitenfläche des Quaders (nicht auf einer Kante) ist relativ innerer Punkt der betreffenden Seitenfläche aber nicht des Vollquaders
- Ein Punkt auf einer Kante des Quaders, der kein Eckpunkt des Quaders ist, ist relativ innerer Punkt der betreffenden Kante, aber weder einer Seitenfläche noch des Vollquaders
- Ein Eckpunkt des Quaders ist in keiner (nichttrivialen) Teilmenge des Quaders ein relativ innerer Punkt
[Bearbeiten] Kreisscheibe
Wir betrachten eine abgeschlossene Kreisscheibe im dreidimensionalen (reellen) Raum. Dann gilt:
- Die affine Hülle der Kreisscheibe ist die Ebene im Raum, in der der Kreis liegt
- Die Punkte der Kreislinie sind für die Kreisscheibe keine relativ inneren Punkte
- Alle anderen Punkte der Kreisscheibe sind relativ innere Punkte
[Bearbeiten] Kurve in der Ebene
Sei C eine Kurve in der Ebene. Formal: C sei das Bild einer stetigen Funktion 
auf einem Intervall 
Ein Punkt f(t) auf der Kurve, der weder ihr Anfangs- noch ihr Endpunkt ist (d.h. t liegt im Inneren von I ), ist genau dann ein relativ innerer Punkt der Kurve, wenn die Kurve in einer Umgebung von t geradeaus geht. Falls die Funktion f an der Stelle t zweimal differenzierbar ist, bedeutet dies, dass die Kurve dort die Krümmung 0 hat).
