Diskussion:Sankt-Petersburg-Paradoxon

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Inhaltsverzeichnis

1 Allgemeines
2 Satz von Lebesgue über majorisierte Konvergenz
3 Erwartungswert, Gewinnerwartung, Geldeinsatz
4 vereinfachte Formel zur endlichen Lotterie ist falsch

[Bearbeiten] Allgemeines

ACHTUNG dieser Artikel bedarf einer dringenden Überarbeitung! Der Wert des Spiels, ist bei 1000000 ca. 20€!!! Das habe ich aus folgendem Buch: Székely: Paradoxa (Verlag Harri Deutsch). Ich bitte deswegen darum, dem Artikel für die fehlerhaftigkeit kenntlich zu machen! Mir fehlt gerade die Zeit etwas zu ändern.--Party Sahne 23:58, 25. Jan 2006 (CET)

Dieser Artikel orientiert sich sehr stark an der englischen Fassung in der englischen Wikipedia

Außerdem sind Fehler im Artikel. Der Erwartungswert für dieses Spiel ist 0, da man mit 50% Wahrscheinlichkeit seinen Einsatz verdoppelt und mit 50% nichts erhält und 0,5*(0+2)=1 --62.245.209.227 14:20, 28. Jul 2005 (CEST)

Das Paradoxon geht nicht auf Johann Bernoulli, sondern auf Nikolaus I Bernoulli zurück ... Ich habe es mal geändert. --JJohann 22:05, 27. Sep 2005 (CEST)

Auch die englische Version benoetigt einige Aenderungen, die deutsche ist zwar knapper, gefaellt mir aber eigentlich fast besser, da weniger Nebensaechliches von der eigentlichen Bedeutung des Paradoxons fuer die Wirtschaftswissenschaften ablenkt... - Siehe meine Kommentare dort. Wenn ich mal Zeit habe, setze ich mich hin und aendere beides. (Prinzipiell ist ja nichts dagegen einzuwenden, wenn englische und deutsche Version aehnlich sind. - Man muss das Rad ja nicht zweimal erfinden...)

Die Referenz, die ich habe, gibt uebrigens Daniel Bernoulli als Entdecker an... Ich hoffe das stimmt, denn mein Paper ist inzwischen veroeffentlicht... ;-)

Marc 129.132.146.72 16:58, 23. Jan 2006 (CET)

Ich habe die Seite voellig ueberarbeitet. - Im Wesentlichen mit dem Besten der englischen Version. Dabei ist die Sache mit der majorisierten Konvergenz herausgeflogen (passt eigentlich nicht hierher). Ich hoffe, es gefaellt... 129.132.146.72 13:43, 8. Feb 2006 (CET)

[Bearbeiten] Satz von Lebesgue über majorisierte Konvergenz

... ist zwar ganz interessant, hat aber nichts mit dem Sankt-Petersburg-Paradoxon zu tun. -- Martin Vogel ^{قهوة؟‎} 12:50, 17. Nov 2005 (CET)

Stimme ich voll zu. Waere hoechstens eine interessante Anwednung naemlichen Satzes und sollte dann dort behandelt werden.

Marc 129.132.146.72 16:54, 23. Jan 2006 (CET)

[Bearbeiten] Erwartungswert, Gewinnerwartung, Geldeinsatz

Es schein hier gar kein Paradoxon vorzuliegen, denn der Erwartungswert ist nicht gleich der Gewinnerwartung. Da ein extrem hoher Gewinn extrem unwahrscheinlich ist, und ein kleiner Gewinn sehr wahrscheinlich, ist folglich auch der Geldeinsatz gering.

Zwar ist der Erwartungswert unendlich, man erreicht diesen in der Praxis aber nur, wenn man das Experiment hinreichend oft durchführt. In diesem Fall müsste die Anzahl der Versuche gegen unendlich gehen, damit der Gewinn ebenfalls gegen unendlich geht. Vergleiche den Erwartungswert beim Würfeln: Da nur 6 verschiedene Ergebnisse mit derselben Wahrscheinlichkeit möglich sind, kann der Erwartungswert (3,5) praktisch nach einigen hundert Versuchen schon angenähert werden.

@Party Sahne: Kannst Du begründen, warum der Gewinn nach 1.000.000 Versuchen nur 20 EUR sein soll? Deine Kritik am Artikel nutzt in dieser Form nicht.

@Benutzer 62.245.209.227: Der Erwartungswert ist nicht Null, und ob man seinen Einsatz mit 50% verdoppelt, hängt vom tatsächlichen Einsatz ab, welchen zu ermitteln ja erst Sinn des Artikels ist.

Alexraasch 27.05.2006

Ob der Erwartungswert Null ist, hängt davon ab wie man das Spiel sieht.

Betrachtet man das Spiel ohne Einsatz, dann ist der Erwartungswert unendlich. Wenn man als Erwartungswert aber als Gewinn - Einsatz sieht, dann ist er tatsächlich Null. In dem Fall ist aber der Einsatz unendlich.

So oder so kommt man auf die Unendlichkeit und der Einfachkeit halber finde ich es deshalb in Ordnung zu sagen der Erwartungswert ist unendlich.

--JonnyJD 19:01, 11. Jun 2006 (CEST)

[Bearbeiten] vereinfachte Formel zur endlichen Lotterie ist falsch

Die alte Version lautete:

$E =\sum_{k=1}^L p_k 2^{k-1}=\sum_{k=1}^L{1 \over 2}={L \over 2},$

Sie ist deshalb falsch, weil sie einen Bruchteil des Ereignisraums ausklammert. So aufgeschreiben kommt man in der Summe der Wahrscheinlichkeiten ja nicht auf 1. Es müssen auch noch die Möglichkeiten, dass erst in Würfen nach L Zahl erzielt werden würde, betrachtet und in dem Fall mit dem Maximum der Auszahlung (2^{L-1}) multipliziert.

Die richtige Formel wäre:

$E =\sum_{k=1}^L p_k 2^{k-1}+2^{L-1}\sum_{k=L+1}^\infty p_k=\sum_{k=1}^L{1 \over 2}+2^{L-1}(1-(1-{1 \over {2^L}}))={L+1 \over 2},$

bzw. mit noch nem Zwischenschritt:

$E =\sum_{k=1}^L p_k 2^{k-1}+2^{L-1}\sum_{k=L+1}^\infty p_k=\sum_{k=1}^L{1 \over 2}+2^{L-1}(\sum_{k=1}^\infty p_k-\sum_{k=1}^L p_k)=\sum_{k=1}^L{1 \over 2}+2^{L-1}(1-(1-{1 \over {2^L}}))={L+1 \over 2},$

$\sum_{k=1}^L p_k=\sum_{k=1}^L 2^{-k}=1-{1 \over {2^L}}$ lässt sich durch Induktion zeigen und damit dann auch: $\sum_{k=1}^\infty 2^{-k}=1$

Da die richtige Formel etwas komplizierter ist und ließe sich darüber nachdenken noch einen Zwischenschritt wegzulassen:

$E =\sum_{k=1}^L p_k 2^{k-1}+2^{L-1}\sum_{k=L+1}^\infty p_k=\sum_{k=1}^L{1 \over 2}+{1 \over 2}={L+1 \over 2},$

Ich habe ihn aber erst einmal gelassen, damit man sieht, woher das Ergebnis kommt.

Ich bitte natürlich jemanden darum das Ding nachzuprüfen. Schon deshalb, weil ich mich gerade mit dem Paradox beschäftige und keine falschen Tatsachen bekanntgeben will ;-)

--JonnyJD 18:42, 11. Jun 2006 (CEST)

Falls meine Überlegungen richtig sind, sollte man vielleicht auch den englischen Artikel in der Hinsicht ändern. --JonnyJD

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