Satz von Euklid
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Der Satz von Euklid besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Dieser Satz geht auf den griechischen Mathematiker Euklid zurück, der um 300 v. Chr. in Alexandria lebte. In seinem Werk Die Elemente schreibt er: „Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen“ (Buch IX, Proposition 20).
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[Bearbeiten] Beweis von Euklid
Euklid verwendet einen Widerspruchsbeweis, um die Aussage des Satzes zu beweisen. Angenommen, es gäbe nur endlich viele Primzahlen 
. Es sei m die kleinste Zahl, die von allen diesen Zahlen geteilt wird. Ist dann m + 1 eine Primzahl, dann ist sie nach Konstruktion größer als und somit eine weitere Primzahl im Widerspruch zur Annahme. Ansonsten sei q ein Primteiler von m + 1. Wäre q eine der Primzahlen , so würde q sowohl m als auch m + 1 teilen. Dann muss q aber auch die Differenz, also 1, teilen, was absurd ist. Also ist q eine weitere Primzahl, was wiederum unserer Annahme widerspricht. Die Annahme, es gäbe nur endlich viele Primzahlen, ist also falsch.
[Bearbeiten] Anwendung
Der Beweis des Satzes von Euklid zeigt eine Möglichkeit auf, wie aus einer oder mehreren vorgegebenen Primzahlen mindestens eine weitere Primzahl berechnet werden kann. Dazu berechnet man das Produkt dieser Primzahlen und addiert 1 zu dem Produkt:
Anschließend berechnet man die Primfaktorzerlegung der so gewonnenen Zahl n. Alle Primfaktoren sind dann Primzahlen, die in der ursprünglichen Primzahlmenge nicht enthalten waren.
Es ist eine offene Frage, ob es unter den Zahlen der Form 
mit p prim, unendlich viele Primzahlen, unendlich viele zusammengesetzte Zahlen oder beides gibt.
[Bearbeiten] Beispiele
Die Zahlen 2, 5 und 11 bilden eine endliche Menge von Primzahlen. Gemäß obiger Formel berechnet sich n zu
.
Sowohl 3 als auch 37 sind weitere Primzahlen. Anhand der 3 ist zu sehen, dass auch Primzahlen gefunden werden können, die nicht größer als die vorgegebenen Primzahlen sind.
Die Zahlen 2, 3, 5, 7 und 11 bilden eine endliche Menge von Primzahlen. Gemäß obiger Formel berechnet sich n zu
2311 ist eine weitere Primzahl. Hier zeigt sich, dass schon das Ergebnis selbst eine Primzahl sein kann.
Die Zahlen 23 und 89 bilden eine endliche Menge von Primzahlen. Gemäß obiger Formel berechnet sich n zu
.
2 ist eine weitere Primzahl, die sogar kleiner ist als beide vorgegebenen Primzahlen.
[Bearbeiten] Weitere Beweise
Im Beweisarchiv finden sich weitere Beweise für die Existenz von unendlich vielen Primzahlen.
