Euklid

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen finden sich unter Euklid (Begriffsklärung).

Fantasieporträt der frühen Neuzeit

Euklid von Alexandria (griechisch Ευκλείδης Eukleides; lateinisch Euclidus; * ca. 365 v. Chr. vermutlich in Alexandria oder Athen; † ca. 300 v. Chr.) war ein griechischer Mathematiker.

In seinem berühmtesten Werk „Die Elemente“ (griechisch Στοιχεῖα Stoicheia; vermutlich um 325 v. Chr. entstanden) leitete er die Eigenschaften geometrischer Objekte, der natürlichen Zahlen und der Größen aus einer Menge von Axiomen (= Elementaraussagen) her und trug das mathematische Wissen seiner Zeit zusammen. Seine axiomatische Methode wurde zum Vorbild für die gesamte spätere Mathematik. Zwar hat Euklid viele Sätze der "Elemente" nicht selbst gefunden, doch besteht seine besondere Leistung eben auch darin, dass er mathematisches Wissen sammelte und in einer einheitlichen Form darstellte.

[Bearbeiten] Leben

Seine Herkunft ist unbekannt. Möglicherweise war er ein Schüler der Platonischen Akademie, später lehrte er am Museion in Alexandria.

Historische Nachrichten zu seiner Person gibt es nur wenige; so ist im 19. Jahrhundert sogar die These vertreten worden, dass die „Elemente“ nicht von einer Person mit dem Namen Euklid stamme, sondern von einem Expertenkreis kompiliert worden sei. Allerdings wird diese Auffassung heute kaum mehr vertreten.

[Bearbeiten] Geometrie - Arithmetik - Größenlehre

Die „Elemente“ waren vielerorts bis ins 20. Jahrhundert hinein Grundlage des Geometrieunterrichts, vor allem im angelsächsischen Raum.

Mittelalterliches Portrait Euklids

Neben der pythagoreischen Geometrie enthalten Euklids „Elemente“ auch in Buch VII-IX die pythagoreische Arithmetik, die Anfänge der Zahlentheorie, die bereits Archytas kannte, darin die Konzepte der Teilbarkeit und des größten gemeinsamen Teilers, sowie auch einen Algorithmus, um ihn zu bestimmen, den euklidischen Algorithmus. Euklid bewies auch, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Auf der Arithmetik baut Euklids Musiktheorie auf mit genialen Originalbeiträgen Euklids zur Irrationaltät von Zahlenverhältnissen (s.u.). Ferner enthält das Buch V die Größenlehre des Eudoxos, eine Verallgemeinerung der Arithmetik auf positive reelle Größen.

Das bekannte fünfte Postulat der ebenen Euklidischen Geometrie, das Parallelenaxiom, fordert, dass für jede beliebige Gerade und für jeden beliebigen Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, eine eindeutige Gerade existiert, die durch diesen Punkt geht und die erste Gerade nicht schneidet.

Für die Wissenschaftsgeschichte ist die Beschäftigung mit dem Parallelenaxiom von großer Bedeutung, weil sie viel zur Präzisierung mathematischer Begriffe und Beweisverfahren beigetragen hat. Im Zuge dessen wurden im 19. Jahrhundert auch die Lücken im Euklidischen Axiomensystem offenkundig. Eine Neufassung der Axiomatik der Euklidischen Geometrie findet sich in David Hilberts Werk „Grundlagen der Geometrie“ (1899).

[Bearbeiten] Musiktheorie

In Euklids musiktheoretischer Schrift Teilung des Kanons, die als authentisch einzustufen ist, griff er die Musiktheorie des Archytas auf und stellte sie auf eine solidere akustische Basis, nämlich auf Frequenzen von Schwingungen (er sprach von Häufigkeit der Bewegungen). Er verallgemeinerte dabei den Satz des Archytas über die Irrationalität der Quadratwurzel $\sqrt{(m+1):m}$ und bewies ganz allgemein die Irrationaltität beliebiger Wurzeln $\sqrt[n]{(m+1):m}$ . Der Grund für diese geniale Verallgemeinerung ist seine Antithese gegen die Harmonik des Aristoxenos, die auf rationalen Vielfachen des Tons (Halbton ... n-tel-Ton) aufbaut. Denn in der pythagoreischen Harmonik hat der Ton (Ganzton) die Proportion 9:8, was Euklid zu seiner Antithese „Der Ton ist weder in zwei noch in mehrere gleiche Teile teilbar“ veranlasste; sie setzt allerdings kommensurable Frequenzen voraus, die in der pythagoreischen Harmonik bis zum Ende des 16. Jahrhunderts (Simon Stevin) angenommen wurden. Die Antithese Oktave<6Ton stützte er auf die Berechnung des pythagoreischen Kommas. Ferner enthält Euklids Teilung des Kanons - wie ihr Titel signalisiert - die ältetste überlieferte Darstellung eines Tonsystems am Kanon, einer geteilten Saite, und zwar eine pythagoreische Umdeutung des vollständigen diationischen Tonsystems des Aristoxenos, das die Harmonie des Philolaos erweitert. Euklids Tonsystem wurde zur Grundlage des modernen Tonsystems mit der heute üblichen Bezeichnung durch die Tonbuchstaben Odos.

[Bearbeiten] Werke (Auswahl)

Euklid: Die Elemente. Bücher I-XIII. Hrsg. u. übs. v. Clemens Thaer. Frankfurt a.M.: Harri Deutsch, 4. Aufl. 2003. (= Ostwalds Klass. d. exakten Wiss. 235.) (die Übersetzung erschien zuerst 1933-1937) ISBN 3-8171-3413-4
Euklid: Teilung des Kanons (sectio canonis), ed. H. Menge in: Euclidis opera omnia, Band 8, Leipzig 1916, 158-183

Weitere erhaltene Schriften sind: „Dedomena“ (Algebra), „Optika“, „Über die Teilung der Figuren“(auszugsweise erhalten in einer arabischen Übersetzung). Von weiteren Werken sind nur die Titel bekannt: U.a. „Pseudaria“ (Trugschlüsse), „Katoptrika“ und „Phainomena“ (Astronomie).

[Bearbeiten] Literatur

Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Geschichte, Kulturen, Menschen, Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-22471-8 (S.49-65) - Die Elemente Euklids und andere Schriften sowie im weiteren Verlauf des Buches deren Kontext und Rezeption in der weiteren Entwicklung der Geometrie.
Max Steck: Bibliographia Euclideana. Die Geisteslinien der Tradition in den Editionen der "Elemente" des Euklid um 365-300). Handschriften, Inkunabeln, Frühdrucke 16.Jahrhundert). Textkritische Editionen des 17.-20. Jahrhunderts. Editionen der Opera minora (16.-20.Jahrhundert). Nachdruck, herausgeg. von Menso Folkerts. Hildesheim: Gerstenberg, 1981.
Neumaier, Wilfried, Was ist ein Tonsystem?, Frankfurt am Main, Bern, New York, 1986, Kap. 6, Die "Teilung des Kanons" des Eukleides.