Satz von Mertens
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Satz von Mertens (nach Franz Mertens)
[Bearbeiten] Formulierung
Sind 
und 
konvergente Reihen, wobei mindestens eine der beiden absolut konvergiert,
so konvergiert das Cauchy-Produkt 
, wobei 
ist, gegen 
.
[Bearbeiten] Beweis
Ohne Einschränkung sei 
die absolut konvergente Reihe. Zu zeigen ist nun die Partialsumme 
konvergiert gegen .
Im folgenden sei 
und 
.
lässt sich schreiben als 
lässt sich schreiben als 
Die Differenzbildung 
ergibt 
Dabei geht 
gegen Null und mit 
lässt sich letzte Reihe aufspalten zu
Es gilt 
Denn letzter Ausdruck ist ein Produkt von einer Nullfolge mit einer beschränkten Folge.
Da die Nullfolge 
beschränkt sein muss gibt es ein 
mit 
.
Daher ist 
nach Cauchy-Kriterium.
Also gilt 
woraus unmittelbar 
folgt.
