Satz von Stolz

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten auf deiner Diskussionsseite.

Der Satz von Stolz bzw. Satz von Stolz-Cesàro handelt von Grenzwerten in der Mathematik. Er ist benannt nach dem österreichischen Mathematiker Otto Stolz (1842-1905) und dem italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro (1859-1906).

[Bearbeiten] Satz

Sind $(a_k)\!$ und $(b_k)\!$ mit $b_k>0\!$ Folgen wobei letztere streng monoton ist und unbeschränkt wächst.

Dann folgt aus der Existenz des Grenzwertes der Differenzenquotienten $\frac{a_k-a_{k-1}}{b_k-b_{k-1}}\to c$ für $k\to\infty$

die Existenz des Grenzwerts der Quotienten zum selben Wert, $\frac{a_k}{b_k}\to c$ .

[Bearbeiten] Beweis

Nach der Annahme der Konvergenz der Differenzenquotienten existiert für jedes $\varepsilon>0$ ein $N\!$ , so dass für alle $k>N\!$ der Differenzenquotient zum Index $k\!$ in der Umgebung $U_{\varepsilon}(c)$ liegt. Es gibt also für jedes $k\!$ ein $\eta_k\!$ mit

$a_k-a_{k-1}=(b_k-b_{k-1})(c+\eta_k)\!$ ;

für $k>N\!$ gilt $|\eta_k|<\varepsilon$ .

Summiert man diese Beziehungen nach $k\!$ von $N+1\!$ bis $n\gg N\!$ , so erhält man die Gleichung

$a_n-a_N=(b_n-b_N)\, c+\sum_{k=N+1}^n (b_k-b_{k-1})\,\eta_k$ .

Somit gilt für den Quotienten der Folgenglieder

$\frac{a_n}{b_n}= \frac{a_N}{b_n}+\left(1-\frac{b_N}{b_n}\right)c + \sum_{k=N+1}^n \frac{b_k-b_{k-1}}{b_n}\,\eta_k$

Der erste Summand der rechten Seite konvergiert gegen Null, da die Folge $(b_n)\!$ unbeschränkt wächst. Aus demselben Grunde konvergiert der zweite Summand gegen $c\!$ . Aufgrund der Monotonie der Folge $(b_k)\!$ gilt für den dritten Summanden

$\left|\sum_{k=N+1}^n \frac{b_k-b_{k-1}}{b_n}\,\eta_k\right| \le\sum_{k=N+1}^n \frac{b_k-b_{k-1}}{b_n}\,|\eta_k| <\left(1-\frac{b_N}{b_n}\right)\varepsilon\le\varepsilon$ .

Man kann nun ein $M>N\!$ finden, so dass für alle $n>M\!$ auch in den ersten zwei Summanden die Differenz zum Grenzwert durch $\varepsilon$ beschränkt ist, für alle $n>M\,$ erhält man dann die Abschätzung

$\left|\frac{a_n}{b_n}-c\right|<3\varepsilon$ ,

somit konvergiert die Folge der Quotienten gegen $c\!$ .

[Bearbeiten] Bemerkungen

Aus $\frac{a_k}{b_k}\to c$ braucht nicht $\frac{a_k-a_{k-1}}{b_k-b_{k-1}}\to c$ zu folgen. Beachte hierfür beispielsweise: $(a_k)=(1,10,10,100,100,1000,1000,...)\!$ und $(b_k)=(1,10,11,110,111,1110,1111,...)\!$ .

Ein Spezialfall ist der Cauchysche Grenzwertsatz. Ein etwas allgemeinerer Fall entsteht, wenn die Folge $(b_n)\!$ die Folge der Partialsummen $b_n:=\sum_{k=1}^n d_n$ einer divergenten Reihe mit positiven Gliedern $(d_n)\!$ ist, z.B.

der harmonischen Reihe $d_n=\frac1n$ , oder
einer Reihe, deren Glieder einen positiven Grenzwert besitzen, wie $d_n=1\!$ , d.h. $b_n=n\!$ , oder gar
einer Reihe, deren Glieder selbst wachsen, wie $d_n=2n-1\!$ , d.h. $b_n=n^2\!$ .