משפט שטולץ

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט שטולץ הוא קריטריון להוכחת התכנסותן של סדרות.

[עריכה] ניסוח פורמלי

תהא $\left\{x_n\right\}_{n=1}^{\infty}$ סדרה כלשהי, ותהא $\left\{y_n\right\}_{n=1}^{\infty}$ סדרה מונוטונית עולה ומקיימת $\ y_n \rarr +\infty$ .

אז אם הסדרה $\textstyle \left\{\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ מתכנסת במובן הרחב, כלומר $\lim_{n \to \infty}\textstyle \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = l$ כאשר $l\,$ סופי או אינסופי,

אז גם הסדרה $\textstyle \left\{ \frac{x_n}{y_n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ מתכנסת לאותו הגבול, כלומר $\lim_{n \to \infty}\textstyle \frac{x_n}{y_n} = l$ .

[עריכה] הוכחה

נוכיח את המקרה בו $l\,$ סופי.

יהי $\varepsilon > 0$ כלשהו. לפי הגדרת הגבול, קיים $N\,$ טבעי, כך שלכל $n > N\,$ מתקיים:

$l - \textstyle {\varepsilon \over 2} < \frac{{x_{n + 1} - x_n }} {{y_{n + 1} - y_n }} < l + \textstyle {\varepsilon \over 2}$

כיוון שהסדרה $\left\{y_n\right\}_{n=1}^{\infty}$ מונוטונית עולה ממש, $y_{n + 1} > y_n\,$ , כלומר $y_{n + 1} - y_n > 0\,$ וניתן להכפיל בו את האי שוויון. נקבל:

$\left( {l - \textstyle {\varepsilon \over 2} } \right)\left( {y_{n + 1} - y_n } \right) < x_{n + 1} - x_n < \left( {l + \textstyle {\varepsilon \over 2} } \right)\left( {y_{n + 1} - y_n } \right)$

יהא $k>N\,$ טבעי כלשהו כך ש- $y_k > 0\,$ (בהכרח קיים $k\,$ כזה מכיוון שהסדרה שואפת לאינסוף). מסכימת האי שוויון לעיל לכל $N+1 \le n \le k$ נקבל את האי שוויון הבא:

$\left( {l - \textstyle {\varepsilon \over 2} } \right)\sum\limits_{i = N+1}^k {\left( {y_{i + 1} - y_i } \right)} < \sum\limits_{i = N+1}^k {\left( {x_{i + 1} - x_i } \right)} < \left( {l + \textstyle {\varepsilon \over 2} } \right)\sum\limits_{i = N+1}^k {\left( {y_{i + 1} - y_i } \right)}$

$\Updownarrow$

$\left( {l - \textstyle {\varepsilon \over 2} } \right)\left( {y_{k + 1} - y_{N+1} } \right) < x_{k + 1} - x_{N+1} < \left( {l + \textstyle {\varepsilon \over 2} } \right)\left( {y_{k + 1} - y_{N+1} } \right)$

נחלק את אי השיוויון ב- $y_{k + 1} > 0\,$ ונקבל:

$\left( {l - \textstyle {\varepsilon \over 2}} \right)\left( {1 - \textstyle \frac{{y_{N+1}}} {{y_{k + 1}}}} \right) <\textstyle \frac{{x_{k + 1}}} {{y_{k + 1}}} -\textstyle \frac{{x_{N+1}}} {{y_{k + 1}}} < \left( {l + \textstyle {\varepsilon \over 2}} \right)\left( {1 - \frac{{y_{N+1}}} {{y_{k + 1}}}} \right)$

$\Updownarrow$

$\left( {l - \textstyle {\varepsilon \over 2}} \right)\left( {1 - \textstyle \frac{{y_{N+1}}} {{y_{k + 1} }}} \right) + \textstyle \frac{{x_{N+1}}} {{y_{k + 1} }} < \frac{{x_{k + 1}}} {{y_{k + 1} }} < \left( {l + \textstyle {\varepsilon \over 2}} \right)\left( {1 - \frac{{y_{N+1}}} {{y_{k + 1} }}} \right) + \frac{{x_{N+1}}} {{y_{k + 1} }}$

ברור כי $\lim_{k \to \infty}\left({\left({l + \textstyle {\varepsilon \over 2}} \right) \left({1-\textstyle \frac{{y_{N+1}}}{{y_{k + 1}}}} \right) + \textstyle \frac{{x_{N+1}}}{{y_{k + 1} }}}\right) = l+\textstyle{\varepsilon \over 2}$ לכן קיים $M\,$ טבעי כך שלכל $k>M\,$ מתקיים $\left( {l + \textstyle {\varepsilon \over 2}} \right)\left( {1 - \textstyle \frac{{y_{N+1}}}{{y_{k + 1} }}} \right) + \textstyle \frac{{x_{N+1}}}{{y_{k + 1} }} < l + \varepsilon$ . וכן ברור כי $\lim_{k \to \infty}\left({\left({l - \textstyle {\varepsilon \over 2}} \right) \left({1-\textstyle \frac{{y_{N+1}}}{{y_{k + 1}}}} \right) + \textstyle \frac{{x_{N+1}}}{{y_{k + 1} }}}\right) = l-\textstyle{\varepsilon \over 2}$ לכן קיים $A\,$ טבעי כך שלכל $k>A\,$ מתקיים $\left( {l - \textstyle {\varepsilon \over 2}} \right)\left( {1 - \textstyle \frac{{y_{N+1}}}{{y_{k + 1} }}} \right) + \textstyle \frac{{x_{N+1}}}{{y_{k + 1} }} > l - \varepsilon$ . לפיכך, אם נבחר $Q = \max\{A,M,N\}\,$ , נקבל שלכל $k>Q\,$ יתקיים:

$l - \varepsilon < \frac{{x_{k + 1} }} {{y_{k + 1} }} < l + \textstyle \varepsilon$ , כלומר - $\left| {\frac{{x_{k + 1} }} {{y_{k + 1} }} - l} \right| < \textstyle \varepsilon$

ולפיכך, $\lim _{n \to \infty } \frac{{x_n }} {{y_n }} = l$ .

[עריכה] דוגמאות

נחשב את הגבול $\lim_{n \to \infty} a_n$ כאשר $a_n=\frac{2 + {( {3 \over 2})}^2 + {({4 \over 3})}^3 + ... + {({n+1 \over n})}^n}{n}$ .

נסמן $x_n = \sum^n_{k=1} \textstyle {\left({k+1 \over k} \right)}^k$ , ו- $y_n = n\,$ . נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: $y_n\,$ עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:

$\lim_{n \to \infty} {\textstyle \frac{\sum^{n+1}_{k=1} {\left({k+1 \over k} \right)}^k - \sum^n_{k=1} {\left({k+1 \over k} \right)}^k}{n+1-n} } = \lim_{n \to \infty} {\textstyle \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} {\textstyle \left(1+ {1 \over n+1}\right)^{n+1}} = e$

ולכן, לפי המשפט, $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} {x_n \over y_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = e$ .

נראה דוגמה נוספת. נחשב את הגבול $\lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + e\cdot a_2 + e^2\cdot a_3 + ... + e^{n-1} \cdot a_n}{e^n}$ כאשר $a_n \rarr e$ .

נסמן $x_n = \sum^n_{k=1} e^{k-1}a_k$ , ו- $y_n = e^n\,$ . נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: $y_n\,$ עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:

$\lim_{n \to \infty} {\textstyle \frac{\sum^{n+1}_{k=1} e^{k-1}a_k - \sum^n_{k=1} e^{k-1}a_k}{e^{n+1}-e^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^n(a_{n+1})}{e^n(e-1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{e-1} =\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{e-1} = \frac{e}{e-1}$

השוויון האחרון נובע מכלל המנה בכללי האריתמטיקה של גבולות.

ולכן, לפי המשפט, $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} {x_n \over y_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = \frac{e}{e-1}$ .

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:	חשבון אינפיניטסימלי \| סדרה \| גבול \| סדרת קושי \| טור \| אינפיניטסימל \| שדה המספרים הממשיים \| ערך מוחלט \| אי-שוויון המשולש \| אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות:	פונקציה \| גרף פונקציה \| פונקציה לינארית \| פונקציה מונוטונית \| נקודת קיצון \| פונקציה קעורה \| פונקציה קמורה \| פונקציה רציפה \| רציפות במידה שווה \| נקודת אי רציפות \| נגזרת \| טור טיילור \| סדרת פונקציות \| התכנסות במידה שווה
משפטים:	משפט בולצאנו-ויירשטראס \| משפטי ויירשטראס \| משפט קנטור \| משפט ערך הביניים \|משפט פרמה \| משפט רול \| משפט הערך הממוצע של לגראנז' \| משפט הערך הממוצע של קושי \| משפט דארבו \| כלל השרשרת \| כלל הסנדוויץ' \| כלל לופיטל \| משפט שטולץ \| אריתמטיקה של גבולות
האינטגרל:	אינטגרל \| המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי \| אינטגרציה בחלקים \| שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת:	פונקציה מרוכבת \| אנליזה וקטורית \| שיטת ניוטון-רפסון \| משוואה דיפרנציאלית \| טופולוגיה \| תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה