Skalengesetz

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Unter den Skalengesetzen oder Skalierungsgesetzen versteht man die Manifestationen von mathematischen Beziehungen der Art

f (x) = a + b c x

d. h. exponentielle Beziehungen, oder

f (x) = a + b x c

d. h. Potenz- oder polynomiale Beziehungen (Potenzgesetz), wobei a, b und c reelle Konstanten darstellen. Potenzgesetze sind häufiger anzutreffen als exponentielle Beziehungen.

Derartige Beziehungen sind in der Natur und Gesellschaft so verbreitet, dass man von einem strukturbildenden Prinzip sprechen kann. Teilweise handelt es sich um rein empirische gefundene Verteilungen, teilweise konnten diese aber auf eine solide theoretische Basis gestellt werden, so dass im naturwissenschaftlichen Sinne von »Gesetzen« gesprochen werden kann. Das begründet sich unter anderem darin, dass

x (t) = c e t

die Lösung der simpelsten linearen Differentialgleichung

$\dot x=x$

ist, die einen sich selbst beschleunigenden Prozess beschreibt, z. B. das Wachstum einer Population ohne Ressourcenbeschränkung.

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Statistik

Benfords Gesetz: besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Ziffern der ersten Stelle von Häufigkeitszahlen, die aus natürlichen Verteilungen gewonnenen wurden, der Beziehung f_D = log(1+1/D) genügt. D. h., in gut 30% aller Zahlen findet sich die 1 an der ersten Stelle, in 17% die 2 usw.

[Bearbeiten] Biologie

Die Beziehung zwischen Metabolismusrate U und Körpermasse M: auch »Gesetz der Stoffwechselreduktion«, »Gesetz der Reduktion spezifischer Stoffwechselraten« oder Allometrie genannt: $U = a M b$ mit $b < 1$
...

[Bearbeiten] Physik

Stefan-Boltzmann-Gesetz: ...
1/f-Rauschen: Bei dem 1/f-Rauschen folgt die Amplitudenverteilung des Rausch-Signals einem Skalengesetz, genauer gesagt einem Potenzgesetz: $A (f) = f - α$ , wobei $A (f)$ die Amplitude zu einer Frequenz $f$ bezeichnet, und $\alpha \approx 1$ ; daher auch die Bezeichnung 1/f-Rauschen (wegen $f - 1 = 1 / f$ ).

[Bearbeiten] Linguistik

Zipfsches Gesetz: ...

[Bearbeiten] Internet

[Bearbeiten] Weblogs

Auch andere selbstlinkende Internet-Plattformen wie Weblogs zeigen einen bestimmten Zusammenhang: neue Weblogs linken auf schon beliebte Weblogs und machen diese noch beliebter [1].