Supremumsnorm
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Unter der Supremumsnorm versteht man in der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, eine Norm auf einem Funktionenraum.
[Bearbeiten] Formale Definition
Sei M eine nichtleere Menge, 
ein normierter Raum und 
der Funktionenraum der beschränkten Funktionen von M nach Y.
Dann wird durch
eine Norm auf definiert.
Hierbei ist es wichtig, dass die Funktionen beschränkt sind, weil das Supremum sonst nicht endlich zu sein bräuchte.
[Bearbeiten] Eigenschaften
- Ist der Bildraum vollständig, also ein Banachraum, so ist es auch der gesamte Funktionenraum.
- Ist M nicht endlich, so ist nicht jede abgeschlossene, beschränkte Teilmenge von automatisch kompakt. Beispielsweise ist im Falle von
die abgeschlossene Einheitskugel abgeschlossen und beschränkt. Es gibt aber eine Folge ohne konvergente Teilfolge. Diese lässt sich wie folgt konstruieren:
- Da M nicht endlich ist, gibt es eine injektive Abbildung
- Sei χA die Indikatorfunktion für
. - Betrachte
. - Dann ist für
. - Also ist keine Cauchyfolge
- Da M nicht endlich ist, gibt es eine injektive Abbildung
- Ist M nicht endlich, so ist
nicht zu allen Normen auf äquivalent
