Норма (математика)
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Норма — понятие, обобщающее абсолютную величину (модуль) числа, а также длину вектора на случай элементов (векторов) линейного пространства.
Норма в векторном линейном пространстве L над полем вещественных или комплексных чисел есть функция , удовлетворяющая следующим условиям:
- , причём p(x) = 0 только при x = 0;
- для всех (неравенство треугольника);
- p(αx) = | α | p(x) для каждого скаляра α.
Норма x обычно обозначается . Линейное пространство с нормой называется нормированным пространством.
Примеры норм в линейных пространствах
- Гёльдеровы нормы n-мерных векторов (семейство):
- Нормы функций в пространстве C[0,1]:
Содержание |
[править] Топология пространства и норма
Норма задаёт на пространстве топологию, базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида . Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.
[править] Эквивалентность норм
Две нормы p и q на пространстве L называются эквивалентными, если существует две положительные константы C1 и C2 такие, что для любого выполняется . Эквивалентные нормы задают на пространстве одинаковую топологию. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны.
[править] Операторная норма
Норма оператора A - число, которое определяется, как:
- .
- где A — оператор, действующий из нормированного пространства L в нормированное пространство K.
- Свойства операторных норм:
- , причём только при A = 0;
- ;
- ;
- .
[править] Матричная норма
Нормой матрицы A называется действительное число , удовлетворяющее первым трём из следующих условий:
- , причём только при A = 0;
- ;
- ;
- .
Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется мультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы мультипликативны. Немультипликативные нормы для матриц являются простыми нормами, заданными в линейных пространствах матриц.
[править] Виды матричных норм
- m-норма:
- l-норма:
- Евклидова норма:
- Сингулярная норма (подчинена евклидовой норме векторов):