Term

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In der Mathematik bezeichnet Term einen sinnvollen Ausdruck, der Ziffern, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen und Klammern enthalten kann. Terme sind sozusagen die grammatisch korrekten Wörter oder Wortgruppen in der Sprache der Mathematik.

Terme stehen immer für mathematische Objekte wie Zahlen, Funktionen oder Mengen.

Beispiele:

$1 \,\!$

$2(ab)^3+c \,\!$

$\frac{xy}{4}$

Gegenbeispiele (keine Terme):

$9 /$ (Hier fehlt der Divisor)

$[2 x + 7)$ (Unpassende Klammern)

$\}x| x \notin B \}$ (Verkehrte Klammer)

[Bearbeiten] Variablen in Termen

Treten in einem Term Variablen auf, wie $a, b \,\!$ oder $x,y \,\!$ in obigen Beispielen, so ist zusätzlich anzugeben, aus welcher Grundmenge diese Variablen zu wählen sind. Durch das Einsetzen von Elementen der Grundmenge erhält der Term einen konkreten Wert.

Zu beachten ist, dass der Term nicht unbedingt für alle Elemente der Grundmenge definiert sein muss; so ist beispielsweise für eine Funktion $f: \R\to\R$ und $x\in\R$ der Term $\frac{1}{f(x)}$ nur für jene $x \,\!$ definiert, für die $f(x)\ne 0$ gilt; jene Teilmenge der Grundmenge eines Termes, für die der Term wohldefiniert ist, wird als Definitionsmenge des Termes bezeichnet.

[Bearbeiten] Anwendungen

Terme mit Variablen werden beispielsweise in Rechenvorschriften oder Formeln verwendet. So lautet eine Faustformel zum Ausrechnen des Anhalteweges (Bremsweg plus Reaktionsweg) eines Autos $\left(\frac{x}{10}\right)\left(\frac{x}{10}+3\right)$ , wobei in diesem Term $x$ die Geschwindigkeit des Autos in km pro Stunde bedeutet. Wenn ein Auto zum Beispiel 160 km/h fährt, liefert die Formel $\left(\frac{160}{10}\right)\left(\frac{160}{10}+3\right)$ einen Anhalteweg von 304m.

Terme können auch zur Definition der Zuordnungsvorschrift einer Funktion verwendet werden; das Beispiel des Anhalteweges definiert etwa die Funktion $f\colon \R^+_0 \to \R^+_0$ , $x\mapsto\left(\frac{x}{10}\right)\left(\frac{x}{10}+3\right)$ .

Wie gesagt sind Terme selbst weder wahr noch falsch; es sind Symbole für Zahlen oder andere mathematische Objekte. Sie können aber zu mathematischen Aussagen wie Gleichungen und Ungleichungen zusammengefügt werden; solche Aussagen sind dann nach Einsetzen aller Variablen entweder wahr oder falsch.

[Bearbeiten] Algebraische Umformungen

Lange, komplizierte Terme können oft vereinfacht werden, indem man auf sie Rechenregeln anwendet, die den Wert des Terms unverändert lassen, beispielsweise das Kommutativgesetz, Assoziativgesetz oder Distributivgesetz:

$(x - 5)(x + 5) + 5(x + 3) \,\!$ : Ausmultiplizieren

$=x^{2} - 25 + 5x + 15 \,\!$ : Gleichartige Ausdrücke zusammenfassen

$=x^{2} + 5x - 10 \,\!$

Solche algebraischen Umformungen sind von Äquivalenzumformungen für Gleichungen oder Ungleichungen zu unterscheiden. Algebraische Umformungen lassen den Wert eines Termes unverändert, Äquivalenzumformung ändern hingegen die Werte der beteiligten Terme, müssen aber den Wahrheitswert der Aussage unverändert lassen.

Daher sollten Terme, die durch Umformungen ineinander überführt werden können, als "gleich" und nicht als "äquivalent" bezeichnet werden.

[Bearbeiten] Term und Ausdruck

Der Begriff Term ist mit dem Begriff Ausdruck in formalen Sprachen verwandt. Während aber ein Ausdruck in einer formalen Sprache formal definiert ist, ist Term ein eher unscharf definierter Begriff. Da die Symbolik der Mathematik nicht fix definiert, sondern beliebig erweiterbar ist, ist auch Term ein erweiterbarer Begriff.

Durch Einführung zusätzlicher Definitionen kann eine vorher sinnlose Symbolkette eine Bedeutung bekommen; so kann beispielsweise je nach Zusammenhang die Symbolkette $\R^\R$ sinnlos sein oder auch ein sinnvoller Term für die Menge aller Funktion von $\R$ nach $\R$ sein.