Diskussion:Torus

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten auf deiner Diskussionsseite.

Ich denke die Rechtecks-Fläche muss auf einer Seite sinusförmig eingeschnitten sein, damit man einen Torus ohne Überlappung bilden kann. 193.171.121.30 21:14, 10. Jun 2004 (CEST)

Ich verstehe nicht ganz, was du damit meinst: "Torus ohne Überlappung". Das Rechteck wird beim Umformen zum Torus verzerrt, dabei überlappt nichts. Man kann aber nicht aus einem Papier-Rechteck einen Papier-Torus rollen. Das geht auch dann nicht, wenn man statt eines Rechtecks eine etwas anders geformte Figur wählt, bei der z.B. eine Seite anders geschnitten ist. --SirJective 15:32, 12. Jun 2004 (CEST)

Ok, mit entsprechender Verzerrung kann man aber auch ein Rechteck in eine Kugel überführen. Wenn das Rechteck hingegen entsprechend eingeschnitten ist und nichts überlappt, muss nichts verzerrt werden, d. h. die Längen bleiben erhalten (man könnte das mit einer Folie ohne Biegesteifigkeit machen). 193.171.121.30 15:50, 12. Jun 2004 (CEST)

Besser ausgedrückt: Mit dem zugeschnittenen Rechteck ist eine längen-, flächen- und winkeltreue Abbildung möglich, und das ist bei einer Kugel nicht möglich. 193.171.121.30 16:03, 12. Jun 2004 (CEST)

Das kann gut sein. Welche Methode der Darstellung man wählt, hängt vom Verwendungszweck ab: Die Abwicklung in eine geeignet geformte ebenene Figur wäre als Karte für manche Anwendungen sicher besser geeignet als eine rein rechteckige Darstellung. Dafür ist letztere als Koordinatensystem leichter zu benutzen. Wenn du die genaue Form dieses zugeschnittenen Rechtecks noch angeben kannst, kannst du sie in den Artikel schreiben. --SirJective 18:16, 12. Jun 2004 (CEST)

Das mit längen-, flächen- und winkeltreu stimmt doch nicht, die Abbildung wäre glaub ich nur längentreu entlang der Koordinatenlinien. Die Rechtecksabbildung der Koordinanten ist denk ich winkeltreu. So viel ich gehört habe, ist die innere Geometrie eines Torus euklidisch - muss es dann eine längen-, flächen- und winkeltreue Abbildung geben?

Das Missverständnis kommt daher, weil der Torus zwar eine (flache) Euklidische Metrik trägt, diese aber nicht mit der Metrik des „Schwimmrings“ übereinstimmt. Die Euklidische Metrik auf dem Torus erhält man, wenn man ihn sich wie beschrieben aus einem Blatt Papier durch Seitenverklebung konstruiert, allerdings ohne das Papier zu verbiegen! Das geht natürlich nicht im 3-dimensionalen Raum, aber vorstellen kann man sich die Verklebung (eben wie bei einem Computerspiel: wenn man rechts/unten rausläuft, kommt man links/oben wieder rein). Diese Metrik ist natürlich (quasi per Definition) längen-, flächen- und winkeltreu.

Stellt man sich dagegen die Metrik auf dem Torus vor, die er von der Einbettung als Schwimmring im R^3 besitzt, so gibt es keine Abbildung auf die Ebene, die auch nur eine der gewünschten Eigenschaften besitzt. Diese Metrik ist an manchen Stellen positiv gekrümmt (z.B. ganz außen), an anderen flach (oben und unten) und wieder woander negativ gekrümmt (auf der Innenseite). Jedenfalls eine komplizierte Metrik, die (außer eben zur Einbettung in

R 3

) zu nichts zu gebrauchen ist. Dies ist ein gutes Beispiel dafür, dass man sich Geometrie intrinsisch und nicht von außen vorstellen sollte. --Yonatan 22:38, 21. Mär 2005 (CET)

Hallo an alle,
in den Bild-Beschreibungen der beiden Bilder wird genau erklärt, was sie bedeuten.
Mit freundlichen Grüssen, Karl Bednarik 15:14, 27. Jun 2004 (CEST)

Flach Schlauch Flach Zylinder Erklärung

Torus Länge X konstant Y variabel

Ich würde mal tippen, dass das obere Bild „Flach Schlauch Flach Zylinder“ veranschaulichen soll, wie man doch einen Euklidischen (flachen) Torus aus einem Blatt Papier ohne Verbiegen herstellen kann: Das Blatt in jeder Richtung einmal knicken, dann lassen sich die Kanten wie vorgeschrieben verkleben. Allerdings ist dieser Torus (bzw. seine Einbettung nach

R 3

) eigentlich entartet, weil mehrere Seitenflächen (theoretisch) an der gleichen Stelle liegen müssten (statt ganz dicht aufeinander). --Yonatan 22:38, 21. Mär 2005 (CET)

Inhaltsverzeichnis

1 Differenzierung
2 Quadrat verkleben
3 Begriffsklärung
4 Bilder
5 Toruskoordinaten - Rücktransformation?
6 Diskussion aus dem Review (Januar 2006)
7 Volltorus und Toroid
8 Illustration
9 Verwaistes Bild
10 Hypertorus?

[Bearbeiten] Differenzierung

Dieser Artikel sollte zwischen den folgenden Begriffen differenzieren:

Torus als $\mathbb R^n/\mathbb Z^n$ o.ä. (flach)
Rotationstorus (gekrümmt)
Volltorus $D^2\times S^1$
braucht jemand Rotationsvolltori?
(Algebraischer Torus)

--Gunther 01:55, 24. Mär 2005 (CET)

Habe gerade erst den zweiten Satz gelesen.--Gunther 11:30, 24. Mär 2005 (CET)

[Bearbeiten] Quadrat verkleben

Ehrlicherweise sollte man erwähnen, dass man ein anderes Objekt im dreidimensionalen Raum erhält, wenn man zuerst die senkrechten und dann die waagerechten Kanten verklebt. (Um diesen Punkt habe ich mich in der Vergangenheit auch schon gedrückt, ich geb's ja zu...)--Gunther 11:30, 24. Mär 2005 (CET)

[Bearbeiten] Begriffsklärung

Irgendwie gehen doch noch einige Dinge durcheinander: die Überschriften "Torustopologie" und "Toruskoordinaten" sprechen von verschiedenen Tori, die Volumenformeln unten passen nicht zu $\mathbb R^n/\mathbb Z^n$ . Ich schlage vor, zumindest den Teil Volltorus abzuspalten, evtl. noch zwischen Rotationstorus und Flacher Torus unterscheiden. Gibt es Einspruch?-- Gunther 11:14, 15. Apr 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Bilder

Die Bilder Bild:FLSCFLZ3_Flach_Schlauch_Flach_Zylinder.jpg und Bild:FLSCFLZF_X_konstant_Y_variabel.jpg sollten im Artikel erklärt werden, bzw. es gehört eine Passage in den Artikel, die durch diese Bilder illustriert wird, ansonsten bin ich dafür, sie rauszunehmen. Ein Hinweis auf die Diskussionsseite oder auf die Bildbeschreibungsseite genügt nicht nur nicht, sondern ist im Artikel sicher fehl am Platze. --Sebastian Koppehel 20:08, 9. Jun 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Toruskoordinaten - Rücktransformation?

Ich weiß, dass die Umwandlung von kartesische in Toruskoordinaten nicht eindeutig ist, aber gibt es trotzdem eine Formel, die die Menge der Toruskoordinaten für einen in kartesischen Koordinaten gegebenen Punkt liefert? --RokerHRO 07:52, 11 November 2005 (CET)

[Bearbeiten] Diskussion aus dem Review (Januar 2006)

Ein Torus (Plural: Tori) ist ein Körper, der die Form eines Schwimmreifens besitzt... ein liebevoll gestalteter Artikel. --217﹒125﹒121﹒169 00:25, 21. Jan 2006 (CET)

Bitte, bitte erst ins Review. Es gibt da noch genug zu tun.--Gunther 00:31, 21. Jan 2006 (CET)
Neutral Als fachfernen Leser verwirren mich schonmal die willkürlich angeordneten Bilder ohne Erläuterungen im Eingangsbereich. Die Richtigkeit der Formeln kann ich eh nicht beurteilen, aber allein schon die optische Anmutung des Artikels lädt mich nicht besonders zum Lesen ein. Daher nur neutral.

Wow, soviele tolle bunte Bilder, die außerdem nichts mit dem Thema zu tun haben. Fettes Contra --Koethnig 03:15, 21. Jan 2006 (CET)
Contra 1. Auch mich irritiren zunächst mal die ganzen, unbeschriftetetn Bilder, das einzig beschriftete Bild ist nicht in den Text eingebunden. 2. Links gehen teilweise auf Redirects und Begriffsklärungsseiten. 3. Einleitung hier mal wieder etwas arg kurz. -- Dr. Shaggeman ^{Der beißt nicht!!!} 12:33, 21. Jan 2006 (CET)

(Aus der Lesenswert-Diskussion hierher verschoben. Es gibt bekannte Kritikpunkte, vgl. Diskussion.--Gunther 12:37, 21. Jan 2006 (CET))

Den Kritikpunkten mit den Bildern schließe ich mich an – da fehlen Beschriftungen und Erklärungen. Ansonsten fehlt mir im Artikel vor allem ein Hinweis, was an Tori spannend ist und warum sie von (inner- oder außermathematischer) Bedeutung sind. Kann man sie zur Modellierung von irgendetwas verwenden? Lassen sich irgendwelche Rechnungen oder Beweise durch Transformation auf Toruskoordinaten vereinfachen? Wenn ja, in welchen mathematischen Bereichen oder lebenspraktischen Anwendungen? Wenn nein, welche Motivation gibt es sonst, sich damit zu beschäftigen (abgesehen von ästhetischen Gründen und der Freude an neuen mathematischen Erkenntnissen)? -- Sdo 19:44, 21. Jan 2006 (CET)

Bis auf die Beschriftungen der liebevoll angefertigten Bilder ist der Arktikel m.E. sehr gut und beschreibt das Lemma erschöpfend. Lesenswert können auch Artikel werden, die nichts Neues oder außermathematisches bieten und auch solche, die vor allem von Fachleuten gelesen werden. Andernfalls könnten Artikel über kleine Themen niemals lesenswert oder exzellent werden. Hintergrund ist, daß das Universum eventuell eine Torus-Form haben könnte, wie sie dort beschrieben ist. Auch drehende schwarze Löcher haben, manchen Theorien zu folge, eine solche Form. --217﹒125﹒121﹒169

Wie schon auf der Diskussionsseite erklärt, behandelt der Artikel das Thema eben nicht im entferntesten erschöpfend und vermischt verschiedene Aspekte in unzulässiger Weise.--Gunther 23:49, 21. Jan 2006 (CET)

[Bearbeiten] Volltorus und Toroid

Ich bin kein Deutsch, deshalb weiss ich nicht ob der Volltorus und Toroid ist eine Dinge. Es ist ein Toroid artikel, aber es ist kein link zu dort. -- Harp 15:45, 18. Apr 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Illustration

Torus 3D

Salutes, ich bin gerade dabei, für die Lemmata, die geometrische Körper behandeln, eine Serie größerer und etwas repräsentativerer Illustrationen zu rendern. Aus den Erfahrungen mit der vergleichsweise simpleren Kugel heraus möchte ich Euch allerdings, bevor ich die neue Illu einsetze, fragen, ob sie in dieser Form ok (Beschriftung?) und klar genug verständlich ist - ich bin nämlich kein Mathematiker. Sagt 'mal was dazu, bitte. --DemonDeLuxe :O) 23:28, 17. Jul 2006 (CEST)

y und z sind vertauscht. Den gefärbten Bereich für t würde ich kleiner machen, das muss ja nur den Winkel symbolisieren und nicht zum Torus passen (nein, ich bin nicht konsequent ;-). Und noch zwei Punkte, die nichts mit diesem konkreten Bild zu tun haben: Kannst Du eigentlich auch SVG statt PNG erzeugen? Und würde es Dir etwas ausmachen, die Bilder auf Wikimedia Commons statt hier hochzuladen? (Das macht für die Verwendung hier überhaupt keinen Unterschied, aber die anderen Wikipedias können die Bilder direkt mitbenutzen.)--Gunther 23:53, 17. Jul 2006 (CEST)

Hey, danke für das fixe Feedback! Bei den Koordinatensystemen scheinen verschiedene Varianten Usus zu sein, aber ich gehe 'mal davon aus, dass Du das "mathematischere" meinst als ich. Den Bereich von t würde ich allerdings lieber so lassen wie derzeit: Er entspricht dem Innenradius des Torus, dadurch gibt's eine verwirrende Linie weniger.

Bzgl. SVG hatte ich auch bereits überlegt; nativ kann Max das nicht, mal sehen, ob ich einen Filter auftreiben kann. Und das mit Commons kann ich natürlich gerne machen. --DemonDeLuxe :O) 01:03, 18. Jul 2006 (CEST)

Ist soweit alles fertig, auch auf die Commons hochgeladen. Jetzt noch meine Bitte um eine schonungslose Beurteilung: Ist das Bild als Illustration tatsächlich besser geeignet als das (noch) derzeitige? Meine eigene Meinung ist klar, aber als Grafiker habe ich natürlich andere Schwerpunkte. Insofern: Lohnt sich das? Soll ich's austauschen? Bzw. mich weiter durch die Geometrie durchwühlen? :O) --DemonDeLuxe :O) 04:40, 18. Jul 2006 (CEST)

Ja, es ist besser geeignet, danke. Ich habe es zu den Koordinaten verschoben, kannst Du vielleicht für den Einleitungsabschnitt noch ein ganz simples, unaufgeschnittenes machen, ohne Bezeichnungen und Achsen, einfach nur einen Ring?--Gunther 14:02, 30. Jul 2006 (CEST)

Mach' ich, ok. --DemonDeLuxe :O) 19:49, 30. Jul 2006 (CEST)

Perfekt, danke.--Gunther 23:23, 30. Jul 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Verwaistes Bild

thumb|

Bei den verwaisten Bildern gefunden, falls noch benötigt. --Gruß Crux 00:43, 21. Sep 2006 (CEST)

Danke nein.--Gunther 00:53, 26. Sep 2006 (CEST)

Das Bild sollte vielleicht im Artikel Koordinatensystem eingebaut werden, falls dort auch Zylinder- und Kugelkoordinatensysteme behandelt werden, ansonsten gehört das Torus-Koordinatensystem hier in diesen Artikel. Oder nicht? --RokerHRO 10:57, 30. Sep 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Hypertorus?

In Form und Volumen des Universum wird hier her verwiesen, jedoch wird hier der/die/das Hypertorus nicht erklärt. -- SchORscH --> ΩΔ 19:55, 10. Nov. 2006 (CET)

Die ernste Erklärung ist bereits im Artikel vorhanden:

Beim 4-dimensionalen Torus oder 4-Torus handelt es sich um einen Tesserakt, dessen 8 gegenüber liegende Würfel paarweise miteinander verheftet sind.

Die heitere Erklärung ist hier:

Nun wollen wir uns noch rasch ein vier-dimensionales Torus-Universum basteln. Zuerst nehmen wir einen vier-dimensionalen Würfel, hier sind null- bis fünf-dimensionale Würfel-Analoga :

http://members.chello.at/karl.bednarik/WUERFEL5.jpg

Falls keiner vorhanden ist, dann falten wir den vier-dimensionalen Würfel eben aus seinen acht Begrenzungs-Würfeln :

http://members.chello.at/karl.bednarik/WUERFEL7.jpg

Man hält den gelben Würfel in der Raumzeit fest, und faltet alle sieben anderen Würfel in die Zukunft. Danach faltet man den blauen Würfel, der nun zu weit in die Zukunft ragt, zu einem späteren Zeitpunkt in den Raum zurück, und schon ist der vier-dimensionale Würfel fertig.

http://members.chello.at/karl.bednarik/WUERFEL6.jpg

Nun brauchen wir nur noch die jeweils gegenüber liegenden Begrenzungs-Würfel paarweise miteinander zu verkleben, und unser vier-dimensionaler Torus ist fertig. ( Am besten trägt man den Quantenkleber an den gelb gekennzeichneten Stellen auf. ) Für diese Arbeit benötigt man noch einen fünf- dimensionalen Raum, aber nach getaner Arbeit läßt man einfach die dunkle Energie entweichen, und drückt ihn wieder flach.

Falls wir ein pulsierendes vier-dimensionales Torus-Universum haben wollen, dann müssen wir die drei räumlichen Ausdehnungen variieren :

http://members.chello.at/karl.bednarik/ZYKUNI.jpg

Zurück bleibende Raumzeit-Schnipsel bitte immer ordentlich entsorgen, damit keine niedrigen Lebensformen hineinfallen können.

Karl Bednarik 04:36, 11. Nov. 2006 (CET).

Der Vorteil einer toroidalen Geometrie des Universums liegt darin, dass man bei einer lokal euklidischen Geometrie des Raumes dennoch keinen unendlich grossen Raum des Universums annehmen muss, der dann endlos, aber nicht unendlich gross sein könnte.

Karl Bednarik 05:31, 11. Nov. 2006 (CET).

Aha, vielen Dank für die umfangreiche Antwort. -- SchORscH --> ΩΔ 11:15, 11. Nov. 2006 (CET)

Hallo SchORscH,

mir ist noch ein kleiner Nachtrag eingefallen, zu dem Thema, wie das alles eigentlich von innen aussieht:

Hyperbolische Universen und euklidische Universen wirken auf den Betrachter in ihrem Inneren vermutlich vorwiegend schwarz, weil sie unendlich gross sind (unter Vernachlässigung des Olbersschen Paradoxons).

Bei den endlosen, aber nicht unendlich grossen Universen könnte man sich selbst um den Raum herum sehen, falls der Raum nicht zu gross ist, der Raum nicht expandiert, und die Lichtgeschwindigkeit nicht zu klein ist.

Bei einem Universum in Form der dreidimensionalen Oberfläche einer vierdimensionalen Kugel, das nicht zu gross ist, und das nicht expandiert, und das eine selbst leuchtende Erde als einziges Objekt enthält (weil keine Sonne), würde man den Eindruck haben, im inneren eines Leuchtglobus zu leben, denn über jedem Punkt der Erdoberfläche wäre das Abbild ihres Antipoden sichtbar.

Bei einem Universum in Form der dreidimensionalen Oberfläche eines vierdimensionalen Toroids, das nicht zu gross ist, und das nicht expandiert, und das eine selbst leuchtende Erde als einziges Objekt enthält, würde man den Eindruck haben, dass ein dreidimensionales Raumgitter mit regelmässigen Abständen aus unendlich vielen Erden mit der gleichen räumlichen Ausrichtung vorhanden ist.

Der Anblick würde an das Innere eines Spiegelwürfels erinnern, nur dass im Inneren eines Spiegelwürfels viele Abbilder der Erde seitenverkehrt oder auf dem Kopf stehend zu sehen wären.

Leider können wir alle diese Weltmodelle nicht von einander unterscheiden, weil das Universum zu gross ist, die Lichtgeschwindigkeit zu langsam ist, und das Universum nicht alt genug ist.

Für einen endlosen, aber nicht unendlichen 3-dimensionalen Raum mit lokaler euklidischer Geometrie genügt der 3-Torus der aus einem gewöhnlichen Würfel nach der Verheftung seiner gegenüber liegenden Flächen entsteht (sehr gut für Computerspiele geeignet).

Den 4-Torus habe ich nur verwendet, um das Ende der Zeit (big crunch) mit dem Anfang der Zeit (big bang) zu verbinden, was aber nur in pulsierenden Universen einen Sinn macht.

Etwas humorvoller erzählt: http://members.chello.at/karl.bednarik/FEYNMANR.html

Mit freundlichen Grüssen,
Karl Bednarik 11:52, 11. Nov. 2006 (CET),
(Einstein-Universum, Sol-III, Wien, Liesing)

M. C. Escher, Depth, 1955,
ein einzelner Fisch in einem 3-Torus:
http://www.mcescher.com/Gallery/recogn-bmp/LW403.jpg
http://escher.ru/images/pics/depth.jpg

M. C. Escher, Cubic Space Division, 1952,
http://www.herakleidon-art.gr/assets/cubic%20space.jpg

In einem dreidimensionalen Raumgitter mit regelmässigen Abständen aus unendlich vielen Erden mit der gleichen räumlichen Ausrichtung sieht man in jeder beliebigen Richtung eine Erdoberfläche, wobei über jedem Punkt der Erdoberfläche das Bild seines Antipoden sichtbar ist, aber im Gegensatz zum sphärischen Raum unterschiedlich stark verkleinert.
Karl Bednarik 08:00, 13. Nov. 2006 (CET).

Von „http://de.wikipedia.org../../../t/o/r/Diskussion%7ETorus_5651.html“