Wiederkehrsatz
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Der poincarésche Wiederkehrsatz ist ein Satz der hamiltonschen Mechanik und der Ergodentheorie. Er sagt aus, dass jedes dynamische System irgendwann beliebig nahe zu seinem Anfangszustand zurückkehrt. Der Satz wurde 1899 von Henri Poincaré bewiesen und gehört zu den klassischen Resultaten der Theorie dynamischer Systeme.
Die präzise Aussage ist folgende: Falls die Lagrangefunktion eines dynamischen Systems nicht von der Zeit abhängt (das ist der Fall wenn keine Reibung vorliegt), dann gibt es für jede beliebig kleine Zahl ε einen Zeitpunkt, an dem die Werte der Zustandsvariablen (Ort und Impuls) sich nur um diese Zahl ε von den entsprechenden Anfangswerten von Ortsvariable und Impulsvariable zum Zeitpunkt t = 0 unterscheiden.
Die Betonung auf beliebig nahe ist wichtig, da es im Allgemeinen nicht gilt, dass Ort und Impuls genau die gleichen Werte annehmen.
Daraus folgt etwa das folgende Resultat: Verbindet man zwei Behälter, die unterschiedliche Gase beinhalten, so vermischen sich diese zunächst. Nach dem Wiederkehrsatz gibt es jedoch einen Zeitpunkt, an dem die Gase sich von selbst trennen und entmischt sind. Es gilt für reale Systeme, dass es eine mehr als astronomisch lange Zeit braucht, bis die Wiederkehr eintritt. Es gibt Abschätzungen, wonach diese Zeitspanne das Alter des Universums um mehrere Zehnerpotenzen übersteigt. Die Entmischung scheint sowohl dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik zu widersprechen, der eine Abnahme der Entropie ausschließt, als auch der Boltzmann-Gleichung, da diese ebenso wie der besagte Hauptsatz eine Zeitrichtung auszeichnet. Die Sätze werden jedoch nicht berührt, da die Entmischung ein Sonderfall der Vermischung ist, der nur augenscheinlich der Ausgangssituation gleicht.
[Bearbeiten] Mathematik
Der Satz ist nicht auf dynamische Systeme beschränkt, sondern kann recht allgemein auch als Satz der Ergodentheorie aufgefasst werden. In diesem Zusammenhang lautet die Formulierung folgendermaßen: Falls T ein maßerhaltender Operator auf einem endlichen Maßraum ist, dann gibt es für jede Zahl ε und μ-fast jeden Punkt x eine natürliche Zahl n, so dass 
ist. Maßerhaltend bedeutet dass μ(T(A)) = μ(A) für jede Menge A aus der sigma-Algebra gilt. Der Zusammenhang mit dynamischen Systemen folgt aus dem Satz von Liouville der Hamiltonschen Mechanik: Demnach bleibt das Phasenraumvolumen eines dynamischen Systems in der Zeit konstant. Der entsprechende Operator, der die Anfangsbedingungen von Ort und Impuls zum Zeitpunkt 0 auf Ort und Impuls zum Zeitpunkt t abbildet, ist also maßerhaltend und der Wiederkehrsatz der Mechanik folgt einfach aus dem obigen Satz der Ergodentheorie.
[Bearbeiten] Diskreter Fall
Besitzt ein beliebiges System nur endlich viele Zustände, so folgt schon trivialerweise, dass irgendwann genau die Anfangszustände wieder eingenommen werden, da die Anzahl der Zustände beschränkt ist. (Dies benötigt nicht den Poincaréschen Satz).
[Bearbeiten] Philosophie
Die Idee, dass sich alles irgendwann wiederholt, hat auch Einzug in die Philosophie gehalten. Vor allem Friedrich Nietzsche hat die Metapher der Ewigen Wiederkehr in seinem Gedankengebäude benutzt. Einige behaupten, dass er durch die physikalischen Überlegungen zur Wiederkehr beeinflusst worden ist.
