Zellers Kongruenz

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Zellers Kongruenz ist der mathematische Weg, um den Wochentag eines gegebenen Datums zu ermitteln. Dieser Weg wurde von dem Geistlichen Christian Zeller 1882 in einer Formel zusammengefasst. Diese Vorgehensweise wird häufig in der Programmierung verwendet und trägt auch häufig den Namen Ewiger Kalender.

Die Formel, um einen Wochentag im Gregorianischen Kalender zu einem gegebenen Datum zu ermitteln lautet:

$\mathit{Wt} = \left(T + \left\lfloor\frac{(M+1) \cdot 26}{10}\right\rfloor + J + \left\lfloor\frac{J}{4}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{\mathit{Jh}}{4}\right\rfloor - 2 \cdot \mathit{Jh} \right ) \bmod\, 7$

Die Formel, um einen Wochentag im Julianischen Kalender zu einem gegebenen Datum zu ermitteln lautet:

$\mathit{Wt} = \left({T} + \left\lfloor\frac{(M+1) \cdot 26}{10}\right\rfloor + J + \left\lfloor\frac{J}{4}\right\rfloor + 5 - \mathit{Jh} \right ) \bmod\, 7$

Jh	:=	Jahrhundert (die ersten beiden Stellen der Gesamt-Jahreszahl)
J	:=	Jahreszahl innerhalb des Jahrhunderts (die letzten beiden Stellen der Gesamt-Jahreszahl)
M	:=	Monat Die Monate Januar und Februar werden als 13. bzw. 14. Monat des Vorjahres betrachtet. Das Jahr J ist dann auch um Eins zu reduzieren.
T	:=	Tag
Wt	:=	Wochentag ( 1 := Sonntag, 2 := Montag, 3 := Dienstag, 4 := Mittwoch, 5 := Donnerstag, 6 := Freitag, 0 := Samstag ) Möchte man, wie heutzutage üblich, dass die Woche mit dem Montag beginnt, so muss man einfach Eins von der Formel subtrahieren.
$\lfloor x\rfloor$	:=	größte ganze Zahl $\leq x$ (Gaußklammer)

Das mod 7 (ausgesprochen Modulo 7) am Ende bedeutet, dass der ermittelte Wert durch 7 geteilt und der Rest, der bei dieser ganzahligen Division durch 7 übrig bleibt, bestimmt wird.

Ist das Ergebnis negativ (je nach verwendeter Modulo-Funktion), so addiert man 7 hinzu, so dass eine positive Zahl entsteht. Diese Zahl entspricht dann dem Wochentag.

Um in jedem Fall eine positive Zahl zu erhalten, ersetzt man in der Formel einfach $- 2 J h$ durch $+ 5 J h$ bzw. $- J h$ durch $+ 6 J h$ .

[Bearbeiten] Beispiele

Nehmen wir an, der Tag wäre der 9. November 1989. Für den Monat November ist M = 11 in die Formel einzusetzen. Der Tag T = 9 und J = 89. Beim Wert für Jh werden nur die ersten beiden Ziffern des Jahres verwendet, also 19 für 1989.

Die Berechnung würde sich also folgendermaßen darstellen:

$\mathit{Wt} = \left(9 + \lfloor((11+1)\cdot26)/10\rfloor + 89 + \lfloor 89/4\rfloor + \lfloor 19/4\rfloor - 2\cdot19\right) \bmod\, 7$

$\mathit{Wt} = \left(9 + 31 + 89 + 22 + 4 - 38\right) \bmod\, 7$

$\mathit{Wt} = \left(117\right) \bmod\, 7 = 5$

Im gegebenen Beispiel ist dieser Restwert 5. Dieser Restwert repräsentiert dann den Wochentag. In unserem Beispiel also den Donnerstag. Der Tag des Mauerfalls war an einem Donnerstag.

An welchem Wochentag entdeckte Christoph Kolumbus am 12. Oktober 1492 die neue Welt? (Da das Datum vor der Einführung des gregorianischen Kalenders liegt, kommt hier die Formel für den julianischen Kalender zum Einsatz.)

$\mathit{Wt} = \left(12 + \lfloor((10+1)\cdot26)/10\rfloor + 92 + \lfloor 92/4\rfloor + 5 - 14\right) \bmod\, 7$

$\mathit{Wt} = \left(12 + 28 + 92 + 23 + 5 - 14\right) \bmod\, 7$

$\mathit{Wt} = \left(146\right) \bmod\, 7 = 6$

Also an einem Freitag.

Der 1. Januar 2005

$\mathit{Wt} = \left(1 + \lfloor((13+1)\cdot26)/10\rfloor + 4 + \lfloor 4/4\rfloor + \lfloor 20/4\rfloor - 2\cdot20\right) \bmod\, 7$

$\mathit{Wt} = \left(1 + 36 + 4 + 1 + 5 - 40\right) \bmod\, 7$

$\mathit{Wt} = \left(7\right) \bmod\, 7 = 0$

war ein Samstag.

Der 2. Juni 2005

$\mathit{Wt} = \left(2 + \lfloor((6+1)\cdot26)/10\rfloor + 5 + \lfloor 5/4\rfloor + \lfloor 20/4 \rfloor - 2\cdot20\right) \bmod\, 7$

$\mathit{Wt} = \left(2 + 18 + 5 + 1 + 5 - 40\right) \bmod\, 7$

$\mathit{Wt} = \left(-9\right) \bmod\, 7 = 5$

Auf manchen Taschenrechner oder in einigen Programmiersprachen liefert die Modulo Funktion hier auch -2. Um auf eine positive Zahl zu kommen, muss dann 7 addiert werden. Dadurch erhält man den Wert 5

Der 2. Juni 2005 war ein Donnerstag.

[Bearbeiten] Literatur

"Die Grundaufgaben der Kalenderrechnung auf neue und vereinfachte Weise gelöst", Zeller, Chr., Württembergische Vierteljahrshefte für Landesgeschichte, Jahrgang V 1882, S. 313-314
"Problema duplex Calendarii fundamentale" par M. Ch. Zeller, Bulletin de la Société Mathématique de France, vol.11, Séance du 16 mars 1883 S. 59-61
"Kalender-Formeln" von Rektor Chr. Zeller, Mathematisch-naturwissenschaftliche Mitteilungen des mathematisch-naturwissenschaftlichen Vereins in Württemberg, ser. 1, 1 1885, S. 54-58
"Kalender-Formeln" von Chr. Zeller, Acta Mathematica, vol.9 1886-87, Nov 1886, S. 131-136