Vikipedio:Projekto matematiko/Diskreta grupo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Diskreta grupo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, diskreta grupo estas grupo G ekipita per la diskreta topologio. Kun ĉi tiu topologio G iĝas topologia grupo. diskreta subgrupo de topologia grupo G estas subgrupo H kies relativa topologio estas la diskreta. Ekzemple, la entjeroj, Z, formas diskretan subgrupon de la reelaj nombroj, R, sed la racionalaj nombroj, Q, ne.

Ĉar topologiaj grupoj estas homogenaj, oni bezonas nur rigardi solan punkton por difini, ĉu la grupo estas diskreta. En aparta, topologia grupo estas diskreta se, kaj nur se, la _singleton_ enhavanta la identon estas _clopen_ aro.

Iu ajn grupo povas esti donita per la diskreta topologio. Ĉar ĉiu mapo de diskreta spaco estas kontinua, la topologiaj homomorfioj de diskreta grupo estas akurate la grupaj homomorfioj de la suba grupo. De ĉi tie, estas izomorfio inter la kategorioj de grupoj kaj de diskretaj grupoj kaj ja, diskretaj grupoj povas ĝenerale esti identigitaj kun la subaj ne-topologiaj grupoj. Kun tio en menso, la termino diskreta grupa teorio signifas la studon de grupoj sen topologia strukturo, kontraste al topologia aŭ Grupo de Lie teorio. Ĝi estas dividita, logike sed ankaŭ teknike, en finian grupan teorion, kaj malfinian grupan teorion.

Se G estas finia aŭ kalkuleble malfinia grupo, tiam la diskreta topologio sufiĉas al fari ĝia nulo-dimensia Grupo de Lie. Ĉar la nura Hausdorff-a topologio sur finia aro estas la diskreta, finia Hausdorff-a topologia grupo devas laŭbezone esti diskreta.

Estas iuj fojoj kiam topologia grupo aŭ Grupo de Lie estas utile dotitaj kun la diskreta topologio, 'kontraŭ naturo'. Tio okazas ekzemple en la teorio de la Bohr-kompaktigo, kaj en grupo _cohomology_ teorio de Lie-grupoj.

Diskreta subgrupo H de G estas _cocompact_ se estas kompakta subaro K de G tia, ke Hk = G.

[redaktu] Ekzemploj

Frisaj grupoj kaj papertapetaj grupoj estas diskretaj subgrupoj de la izometria grupo de la Eŭklida ebeno. Papertapetaj grupoj estas _cocompact_, sed Frisaj grupoj estas ne.
Spaca grupo estas diskreta subgrupo de la izometria grupo de Eŭklida spaco de iu dimensio.
Kristalografia grupo kutime signifas _cocompact_, diskretan subgrupon de la izometrioj de iu Eŭklida spaco. Iam, tamen, kristalografia grupo povas esti _cocompact_ diskreta subgrupo de (nulpotenca, nilpotenta) aŭ solvebla Grupo de Lie.
Ĉiu triangula grupo T estas diskreta subgrupo de la izometria grupo de la sfero (kiam T estas finia), la Eŭklida ebeno (kiam T havas Z + Z subgrupon de finia indekso), aŭ la hiperbola ebeno.
Fuchsiaj grupoj estas, laŭdifine, diskretaj subgrupoj de la izometria grupo de la hiperbola ebeno.
- Fuchsia grupo, kiu konfitas orientiĝo kaj (agoj, agas, operacias) sur la supra duonebena modelo de la hiperbola ebeno estas diskreta subgrupo de la Grupo de Lie PSL(2,R), la grupo de orientiĝo konfitantaj izometrioj de la supra duonebena modelo de la hiperbola ebeno.
- Fuchsia grupo estas iam konsiderata kiel speciala kazo de Grupo de Klein, per enigo la hiperbola ebeno _isometrically_ en tri-dimensian hiperbolan spacon kaj etendanta la grupa ago sur la ebeno al la tuta spaco.
- La modula grupo estas PSL(2,Z), konsiderata kiel diskreta subgrupo de PSL(2,R). La modula grupo estas krado en PSL(2,R), sed ĝi estas ne _cocompact_.
Klein-aj grupoj estas, laŭdifine, diskretaj subgrupoj de la izometria grupo de hiperbola 3-spaco. Tiuj inkluzivas kvazaŭ-Fuchsiajn grupojn.
- Grupo de Klein, kiu konfitas orientiĝo kaj (agoj, agas, operacias) sur la supra duona spaca modelo de hiperbola 3-spaco estas diskreta subgrupo de la Grupo de Lie PSL(2,C), la grupo de orientiĝo konfitanta (izometrioj, izometrias) de la supra duono-spaca modelo de hiperbola 3-spaco.
Krado en Grupo de Lie estas diskreta subgrupo tia, ke la Mezuro de Haar de la kvocienta spaco estas finia.