Vikipedio:Projekto matematiko/Funkcio de Bessel

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Funkcio de Bessel
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, Bessel-aj funkcioj, unua difinis per la (Svisa, Sviso) matematikisto _Daniel_ Bernoulli-a kaj nomis post Friedrich Bessel, estas kanonaj solvaĵoj y(x) de Bessel-a's diferenciala ekvacio:

$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0$

por ajna reela nombro α (la (mendi, ordo)). La plej komuna kaj grava speciala okazo estas kie α estas entjero, n.

Kvankam α kaj −&α; produkti la sama diferenciala ekvacio, ĝi estas kutima al difini malsamaj Bessel-aj funkcioj por ĉi tiuj du (mendas, ordoj) (e.g., tiel ke la Bessel-aj funkcioj estas plejparte glataj funkcioj de α).

[redaktu] Aplikoj

Bessel-a's ekvacio ekestas kiam trovantaj apartigeblaj solvaĵoj al Laplaca ekvacio kaj la _Helmholtz_ ekvacio en cilindra aŭ sferaj koordinatoj, kaj Bessel-aj funkcioj estas pro tio aparte grava por multaj (problemoj, problemas) de onda disvastigo, statika (potencialoj, potencialas), kaj tiel plu. (Por cilindra (problemoj, problemas), unu ricevas Bessel-aj funkcioj de entjero (mendi, ordo) α = n; por sfera (problemoj, problemas), unu ricevas duona entjero (mendas, ordoj) α = n+&_frac12_;.) Ekzemple:

elektromagneta (ondoj, ondas, svingas) en cilindra _waveguide_
varmo _conduction_ en cilindra objekto.
(reĝimoj, reĝimas) de vibrado de maldika cirkulero (aŭ _annular_) membrano.

Bessel-aj funkcioj ankaŭ havi utilaj propraĵoj por alia (problemoj, problemas), kiel signal-prilaborado (e.g., vidi _FM_ sintezo aŭ _Kaiser_ fenestro).

[redaktu] (Difinoj, Difinas)

Ekde ĉi tiu estas (sekundo, dua)-(mendi, ordo) diferenciala ekvacio, tie devas esti du lineare sendependaj solvaĵoj. Dependanta sur la (cirkonstancoj, kondiĉoj), tamen, diversaj (formulaĵoj, formulaĵas) de ĉi tiuj solvaĵoj estas oportuna, kaj la malsamaj variadoj estas priskribita pli sube.

[redaktu] Bessel-aj funkcioj de la unua speco

Bessel-aj funkcioj de la unua speco, signifis kun J_α(x), estas solvaĵoj de Bessel-a's diferenciala ekvacio kiu estas finia je x = 0 por α entjero aŭ α nenegativa. La specifa elekto kaj normaligo de J_α estas difinita per ĝiaj propraĵoj pli sube; alia ebleco estas al difini ĝi per ĝia Serio de Taylor elvolvaĵo ĉirkaŭ x = 0 (aŭ pli ĝenerala potencoserio por ne-entjero α):

$J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha}$

Ĉi tie, $Γ(z)$ estas la γ funkcio, ĝeneraligo de la faktorialo al ne-entjero (valoroj, valoras). La (grafikaĵoj, grafeoj) de Bessel-aj funkcioj (aspekti, aspekto, rigardi) malglate ŝati oscilanta sinuso aŭ kosinusaj funkcioj (tiu, ke, kiu) kadukiĝo proporcie al 1/√x (vidi ankaŭ ilia asimptota (formoj, formas), pli sube), kvankam ilia (radikoj, radikas) estas ne ĝenerale perioda escepti asimptote por granda x.

Jen la grafika prezento de $J α (x)$ por $α = 0,1,2$ :

Se α estas ne entjero, la funkcioj $J α (x)$ kaj $J - α (x)$ estas lineare sendependa kaj estas pro tio la du solvaĵoj de la diferenciala ekvacio. Aliflanke, se la (mendi, ordo) $α$ estas entjero, tiam jena interrilato estas valida:

$J_{-\alpha}(x) = (-1)^{\alpha} J_{\alpha}(x)\,$

Ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) ili estas jam ne lineare sendependa. La (sekundo, dua) lineare sendependa solvaĵo estas tiam fundamenti al esti la Funkcio de Bessel de la (sekundo, dua) speco, kiel diskutis pli sube.

[redaktu] Bessel-a's integraloj

Alia difino de la Funkcio de Bessel estas ebla uzanta integrala ekvacio:

$J_\alpha (x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \cos (\alpha \tau - x \sin \tau) d\tau.$

Ĉi tiu estas la (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) (tiu, ke, kiu) Bessel-a uzita, kaj de ĉi tiu difina li derivis kelkaj propraĵoj de la funkcio. Alia integrala prezento estas:

$J_\alpha (x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{i(\alpha \tau - x \sin \tau)} d\tau$

[redaktu] Rilato al supergeometria serio

La Bessel-aj funkcioj povas esti esprimita en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la supergeometria serio kiel

$J_\alpha(z)=\frac{(z/2)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} \;_0F_1 (\alpha+1; -z^2/4).$

[redaktu] Bessel-aj funkcioj de la (sekundo, dua) speco

Ĉi tiuj estas eble la plej kutime uzita (formoj, formas) de la Bessel-aj funkcioj.

La Bessel-aj funkcioj de la (sekundo, dua) speco, signifis per Y_α(x), estas solvaĵoj de la Bessel-a diferenciala ekvacio. Ili estas singularo (malfinio) je x = 0.

Y_α(x) estas iam ankaŭ (nomita, vokis) la Neumann-a funkcio, kaj estas foje signifita anstataŭe per N_α(x). Ĝi estas rilatanta al J_α(x) per:

$Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)},$

kie la (kesto, okazo) de entjero α estas ansita per prenante la limigo.

Kiam α estas ne entjero, la difino de Y_α estas redunda (kiel estas klara de ĝia difino pli supre). Aliflanke, kiam α estas entjero, Y_α estas la (sekundo, dua) lineare sendependa solvaĵo de Bessel-a's ekvacio; ankaŭ, kiel estis simile la (kesto, okazo) por la funkcioj de la unua speco, jena interrilato estas valida:

$Y_{-n}(x) = (-1)^n Y_n(x)\,$

Ambaŭ J_α(x) kaj Y_α(x) estas holomorfaj funkcioj de x sur la kompleksa ebeno tranĉi laŭ la negativa (reala, reela) akso. Kiam α estas entjero, estas ne branĉa punkto, kaj la Bessel-aj funkcioj estas tutaj funkcioj de x. Se x estas tenita (fiksita, neŝanĝebligita), tiam la Bessel-aj funkcioj estas tutaj funkcioj de α.

Jen la grafika prezento de $Y α (x)$ por $α = 0,1,2$ :

[redaktu] _Hankel_ funkcioj

Alia grava formulaĵo de la du lineare sendependaj solvaĵoj al Bessel-a's ekvacio estas la _Hankel_ funkcioj H_α⁽¹⁾(x) kaj H_α⁽²⁾(x), difinis per:

$H_\alpha^{(1)}(x) = J_\alpha(x) + i Y_\alpha(x)$

$H_\alpha^{(2)}(x) = J_\alpha(x) - i Y_\alpha(x)$

kie mi estas la imaginara unuo. Ĉi tiuj linearaj kombinaĵoj estas ankaŭ sciata kiel Bessel-aj funkcioj de la tria speco; ili estas du lineare sendependaj solvaĵoj de Bessel-a's diferenciala ekvacio. La _Hankel_ funkcioj (ekspreso, esprimi) _inward_- kaj eksteren-propagantaj cilindraj ondaj solvaĵoj de la cilindra onda ekvacio. Ili estas nomita por _Hermann_ _Hankel_.

Uzanta la antaŭaj interrilataj ili povas esti esprimita kiel:

$H_{\alpha}^{(1)} (x) = \frac{J_{-\alpha} (x) - e^{-\alpha \pi i} J_\alpha (x)}{i \sin (\alpha \pi)}$

$H_{\alpha}^{(2)} (x) = \frac{J_{-\alpha} (x) - e^{\alpha \pi i} J_\alpha (x)}{- i \sin (\alpha \pi)}$

se α estas entjero, la limigo havas al esti kalkulita. Jenaj interrilatoj estas valida, ĉu α estas entjero ĉu ne:

$H_{-\alpha}^{(1)} (x)= e^{\alpha \pi i} H_{\alpha}^{(1)} (x)$

$H_{-\alpha}^{(2)} (x)= e^{-\alpha \pi i} H_{\alpha}^{(2)} (x)$

[redaktu] Aliigitaj Bessel-aj funkcioj

La Bessel-aj funkcioj estas valida (eĉ, ebena, para) por komplekso (argumentoj, argumentas) x, kaj grava speciala okazo estas (tiu, ke, kiu) de pure imaginara argumento. En ĉi tiu (kesto, okazo), la solvaĵoj al la Bessel-a ekvacio estas (nomita, vokis) la aliigitaj Bessel-aj funkcioj (aŭ foje la hiperbolaj Bessel-aj funkcioj) de la unua kaj (sekundo, dua) speco, kaj estas difinita per:

$I_\alpha(x) = i^{-\alpha} J_\alpha(ix) \!$

$K_\alpha(x) = \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\alpha} (x) - I_\alpha (x)}{\sin (\alpha \pi)} = \frac{\pi}{2} i^{\alpha+1} H_\alpha^{(1)}(ix) \!$

Ĉi tiuj estas elektita al esti (reala, reela)-valora por (reala, reela) (argumentoj, argumentas) x. Ili estas la du lineare sendependaj solvaĵoj al la aliigita Bessel-a's ekvacio:

$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - (x^2 + \alpha^2)y = 0.$

Malverŝajne la ordinaraj Bessel-aj funkcioj, kiu estas oscilanta kiel funkcioj de (reala, reela) argumento, Mi_α kaj K_α estas eksponente kreskanta kaj kadukiĝantaj funkcioj, respektive. Ŝati la ordinara Funkcio de Bessel J_α, la funkcio Mi_α iras al nulo je x=0 por α > 0 kaj estas finia je x=0 por α=0. Analoge, K_α (diverĝas, malkonverĝas) je x=0.

Aliigitaj Bessel-aj funkcioj de 1-a speco

Aliigitaj Bessel-aj funkcioj de 2-a speco

La aliigita Funkcio de Bessel de la (sekundo, dua) speco havas ankaŭ estas (nomita, vokis) per la nun-malofta (nomoj, nomas):

_Basset_ funkcio
aliigita Funkcio de Bessel de la tria speco
_MacDonald_ funkcio

[redaktu] Sferaj Bessel-aj funkcioj

Kiam solvanta por apartigeblaj solvaĵoj de Laplaca ekvacio en sferaj koordinatoj, la radiusa ekvacio havas la (formo, formi):

$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + 2x \frac{dy}{dx} + [x^2 - n(n+1)]y = 0.$

La du lineare sendependaj solvaĵoj al ĉi tiu ekvacio estas (nomita, vokis) la sferaj Bessel-aj funkcioj j_n kaj y_n (ankaŭ signifis n_n), kaj estas rilatanta al la ordinaraj Bessel-aj funkcioj J_n kaj Y_n per:

$j_n(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{n+1/2}(x),$

$y_n(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{n+1/2}(x) = (-1)^{n+1} \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{-n-1/2}(x).$

La sferaj Bessel-aj funkcioj povas ankaŭ esti skribita kiel:

$j_n(x) = (-x)^n \left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n\,\frac{\sin x}{x} ,$

$y_n(x) = -(-x)^n \left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n\,\frac{\cos x}{x}.$

La unua sfera Funkcio de Bessel $j 0 (x)$ estas ankaŭ sciata kiel la _sinc_ funkcio. La unuaj kelkaj sferaj Bessel-aj funkcioj estas:

$j_0(x)=\frac{\sin x} {x}$

$j_1(x)=\frac{\sin x} {x^2}- \frac{\cos x} {x}$

$j_2(x)=\left(\frac{3} {x^2} - 1 \right)\frac{\sin x}{x} - \frac{3\cos x} {x^2}$

kaj

$y_0(x)=-j_{-1}(x)=-\,\frac{\cos x} {x}$

$y_1(x)=j_{-2}(x)=-\,\frac{\cos x} {x^2}- \frac{\sin x} {x}$

$y_2(x)=-j_{-3}(x)=\left(-\,\frac{3}{x^2}+1 \right)\frac{\cos x}{x}- \frac{3 \sin x} {x^2}.$

Estas ankaŭ sfera _analogues_ de la _Hankel_ funkcioj:

$h_n^{(1)}(x) = j_n(x) + i y_n(x)$

$h_n^{(2)}(x) = j_n(x) - i y_n(x).$

Fakte, estas simplaj fermit-formaj esprimoj por la Bessel-aj funkcioj de duono-entjero (mendi, ordo) en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la normaj trigonometriaj funkcioj, kaj pro tio por la sferaj Bessel-aj funkcioj. En aparta, por nenegativa (entjeroj, entjeras) n:

$h_n^{(1)}(x) = (-i)^{n+1} \frac{e^{ix}}{x} \sum_{m=0}^n \frac{i^m}{m!(2x)^m} \frac{(n+m)!!}{(n-m)!!}$

kaj h_n⁽²⁾ estas la komplekso-konjugita de ĉi tiu (por (reala, reela) x). (!! estas la duopa faktorialo.) Ĝi sekvas, ekzemple, (tiu, ke, kiu) j₀(x) = (peko, peki)(x)/x kaj y₀(x) = -cos(x)/x, kaj tiel plu.

[redaktu] _Riccati_-Bessel-aj funkcioj

_Riccati_-Bessel-aj funkcioj nur malmulte diferenci de sferaj Bessel-aj funkcioj:

$S_n(x)=x j_n(x)=\sqrt{\pi x/2}J_{n+1/2}(x)$

$C_n(x)=-x y_n(x)=-\sqrt{\pi x/2}Y_{n+1/2}(x)$

$\zeta_n(x)=x h_n^{(2)}(x)=\sqrt{\pi x/2}H_{n+1/2}^{(2)}(x)=S_n(x)+iC_n(x)$

Ili kontentigi la diferenciala ekvacio:

$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + [x^2 - n (n+1)] y = 0$

Ĉi tiu diferenciala ekvacio, kaj la _Riccati_-Bessel-aj solvaĵoj, ekestas en la problemo de (verŝado, verŝanta) de elektromagneta (ondoj, ondas, svingas) per sfero, sciata kiel _Mie_ (verŝado, verŝanta) post la unua (publikigita, publikigis) solvaĵo per _Mie_ (1908). Vidi e.g. _Du_ (2004) por ĵusa (evoluoj, evoluas) kaj referencoj.

Sekva _Debye_ (1909), la (notacio, skribmaniero) $ψ n,χ n$ estas iam uzita anstataŭ $S n, C n$ .

[redaktu] Asimptota (formoj, formas)

La Bessel-aj funkcioj havi jeno asimptota (formoj, formas) por nenegativa α. Por malgranda (argumentoj, argumentas) $0 < x \ll \sqrt{\alpha + 1}$ , unu ricevas:

$J_\alpha(x) \rightarrow \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \left( \frac{x}{2} \right) ^\alpha$

$Y_\alpha(x) \rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{2}{\pi} \left[ \ln (x/2) + \gamma \right] & \mbox{if } \alpha=0 \\ \\ -\frac{\Gamma(\alpha)}{\pi} \left( \frac{2}{x} \right) ^\alpha & \mbox{if } \alpha > 0 \end{matrix} \right.$

kie γ estas la Konstanto de Eŭlero-Mascheroni (0.5772...) kaj Γ signifas la γ funkcio. Por granda (argumentoj, argumentas) $x \gg |\alpha^2 - 1/4|$ , ili iĝi:

$J_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right)$

$Y_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right).$

(Por α=1/2 ĉi tiuj (formuloj, formulas) estas akurata; vidi la sferaj Bessel-aj funkcioj pli supre.) Asimptota (formoj, formas) por la alia (klavas, tipoj) de Funkcio de Bessel sekvi simple de la pli supre rilatoj. Ekzemple, por granda $x \gg |\alpha^2 - 1/4|$ , la aliigitaj Bessel-aj funkcioj iĝi:

$I_\alpha(x) \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi x}} e^x,$

$K_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{\pi}{2x}} e^{-x}.$

dum por malgranda (argumentoj, argumentas) $0 < x \ll \sqrt{\alpha + 1}$ , ili iĝi:

$I_\alpha(x) \rightarrow \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \left( \frac{x}{2} \right) ^\alpha$

$K_\alpha(x) \rightarrow \left\{ \begin{matrix} - \ln (x/2) - \gamma & \mbox{if } \alpha=0 \\ \\ \frac{\Gamma(\alpha)}{2} \left( \frac{2}{x} \right) ^\alpha & \mbox{if } \alpha > 0 \end{matrix} \right.$

[redaktu] Propraĵoj

Por entjero (mendi, ordo) α = n, J_n estas ofte difinita tra _Laurent_ serio por generanta funkcio:

$e^{(x/2)(t-1/t)} = \sum_{n=-\infty}^\infty J_n(x) t^n,$

(maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) uzita per P. A. _Hansen_ en 1843. (Ĉi tiu povas esti ĝeneraligita al ne-entjero (mendi, ordo) per kontura integralado aŭ aliaj manieroj.) Alia grava rilato por entjero (mendas, ordoj) estas la Jakobio-Kolerigi idento:

$e^{iz \cos \phi} = \sum_{n=-\infty}^\infty i^n J_n(z) e^{in\phi},$

kiu estas uzita al elvolvi ebena ondo kiel (sumo, sumi) de cilindra (ondoj, ondas, svingas), aŭ al trovi la Serio de Fourier de tono modulis _FM_ signali.

La funkcioj J_α, Y_α, H_α⁽¹⁾, kaj H_α⁽²⁾ ĉiuj kontentigi la rekursiecaj rilatoj:

$Z_{\alpha-1}(x) + Z_{\alpha+1}(x) = \frac{2\alpha}{x} Z_\alpha(x)$

$Z_{\alpha-1}(x) - Z_{\alpha+1}(x) = 2\frac{dZ_\alpha}{dx}$

kie Z signifas J, Y, H⁽¹⁾, aŭ H⁽²⁾. (Ĉi tiuj du identoj estas ofte kombinita, e.g. adiciita aŭ subtrahis, al liveri diversaj aliaj rilatoj.) En tiamaniere, ekzemple, unu povas komputi Bessel-aj funkcioj de pli alta (mendas, ordoj) (aŭ pli altaj derivaĵoj) donita la (valoroj, valoras) je suba (mendas, ordoj) (aŭ subaj derivaĵoj). En aparta, ĝi sekvas (tiu, ke, kiu):

$\left( \frac{d}{x dx} \right)^m \left[ x^\alpha Z_{\alpha} (x) \right] = x^{\alpha - m} Z_{\alpha - m} (x)$

$\left( \frac{d}{x dx} \right)^m \left[ \frac{Z_\alpha (x)}{x^\alpha} \right] = (-1)^m \frac{Z_{\alpha + m} (x)}{x^{\alpha + m}}$

Ĉar Bessel-a's ekvacio iĝas Hermita (hermita) se ĝi estas (dividita, dividis) per x, la solvaĵoj devas kontentigi orteca interrilato por adekvataj randaj kondiĉoj. En aparta, ĝi sekvas (tiu, ke, kiu):

$\int_0^1 x J_\alpha(x u_{\alpha,m}) J_\alpha(x u_{\alpha,n}) dx = \frac{\delta_{m,n}}{2} J_{\alpha+1}(u_{\alpha,m})^2,$

kie α > -1, δ_m,n estas la Delto de Kronecker, kaj u_α,m estas la mOna nulo de J_α(x). Ĉi tiu orteca rilato povas tiam kutimi ekstrakti la koeficientoj en la Fourier-a-Bessel-a serio, kie funkcio estas elvolvita en la bazo de la funkcioj J_α(x u_α,m) por (fiksis, neŝanĝebligita) α kaj varianta m. (An analoga interrilato por la sferaj Bessel-aj funkcioj sekvas (tuj, senpere).)

Alia orteca rilato estas la (fermaĵo, adheraĵo) ekvacio:

$\int_0^\infty x J_\alpha(ux) J_\alpha(vx) dx = \frac{1}{u} \delta(u - v)$

por α > -1/2 kaj kie δ estas la Diraka delta funkcio. Por la sferaj Bessel-aj funkcioj la orteca rilato estas:

$\int_0^\infty x^2 j_\alpha(ux) j_\alpha(vx) dx = \frac{\pi}{2u^2} \delta(u - v)$

por α > 0.

Alia grava propraĵo de Bessel-a's ekvacioj, kiu sekvas de Abela idento, engaĝas la _Wronskian_ de la solvaĵoj:

$A_\alpha(x) \frac{dB_\alpha}{dx} - \frac{dA_\alpha}{dx} B_\alpha(x) = \frac{C_\alpha}{x},$

kie A_α kaj B_α estas (ĉiu, iu) du solvaĵoj de Bessel-a's ekvacio, kaj C_α estas konstanto sendependa de x (kiu dependas sur α kaj sur la apartaj Bessel-aj funkcioj (konsiderita, konsideris)). Ekzemple, se A_α = J_α kaj B_α = Y_α, tiam C_α estas 2/π. Ĉi tiu ankaŭ tenas por la aliigitaj Bessel-aj funkcioj; ekzemple, se A_α = Mi_α kaj B_α = K_α, tiam C_α estas -1.

(Estas granda nombro de aliaj sciataj integraloj kaj identoj (tiu, ke, kiu) estas ne reproduktita ĉi tie, sed kiu povas troviĝi en la referencoj.)

[redaktu] Referencoj

_Milton_ Abramowitz-a kaj Ireno A. _Stegun_, _eds_., Gvidlibro de Matematikaj Funkcioj kun (Formuloj, Formulas), (Grafikaĵoj, Grafeoj), kaj Matematika (Baremoj, Baremas, Tabeloj, Tabelas, Tabloj, Tablas) (Dovero: (Nov-Jorkio, Novjorko), 1972)
- Ĉapitro 9 Bessel-aj Funkcioj de entjero (mendi, ordo)
  - Sekcio 9.1 J, Y (Vebero) kaj H (_Hankel_)
  - Sekcio 9.6 Aliigita (Mi kaj K)
  - Sekcio 9.9 Kelvinaj funkcioj
- Ĉapitro 10 Bessel-aj Funkcioj de frakcia (mendi, ordo)
  - Sekcio 10.1 Sferaj Bessel-aj Funkcioj (j, y kaj h)
  - Sekcio 10.2 Aliigitaj Sferaj Bessel-aj funkcioj (Mi kaj K)
  - Sekcio 10.3 _Riccati_-Bessel-aj Funkcioj
  - Sekcio 10.4 Aeraj funkcioj
Georgo B. _Arfken_ kaj _Hans_ J. Vebero, Matematikaj Manieroj por (Fizikistoj, Fizikistas) (_Harcourt_: _San_ _Diego_, 2001).
_Frank_ _Bowman_, Enkonduko al Bessel-aj Funkcioj (Dovero: (Nov-Jorkio, Novjorko), 1958) ISBN 0486604624.
G. N. _Watson_, A Traktato sur la Teorio de Bessel-aj Funkcioj, (Sekundo, Dua) Redakcio, (1966) Kembriĝo (Britio) Universitato Premi.
G. _Mie_, "_Beiträge_ _zur_ _Optik_ _trüber_ _Medien_, _speziell_ _kolloidaler_ _Metallösungen_", _Ann_. _Phys_. Leipzig 25(1908), p.377.
_Hong_ _Du_, "_Mie_-(verŝado, verŝanta) kalkulo," Aplikis Optiko 43 (9), 1951-1956 (2004).

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Funkcio_de_Bessel_3ac3.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Specialaj funkcioj | Specialaj supergeometriaj funkcioj