Vikipedio:Projekto matematiko/Hermitaj polinomoj

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Hermitaj polinomoj
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, la Hermitaj polinomoj, nomis en (honori, moŝto) de Karla Hermito (Hermito estas prononcita "aero _MEET_"), estas polinoma vico difinis ĉu per

$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}$

(la "_probabilists_' Hermitaj polinomoj"), aŭ iam per

$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$

(la "(fizikistoj, fizikistas)' Hermitaj polinomoj"). Ĉi tiuj du (difinoj, difinas) estas ne akurate ekvivalento; ĉu estas bagatela _rescaling_ de la alia. Ĉi tiuj estas Hermitaj polinomaj vicoj de malsama (variancoj, variancas); vidi la materialo sur (variancoj, variancas) pli sube.

Pli sube, ni kutime sekvi la unua konvencio. (Tiu, Ke, Kiu) konvencio estas ofte (preferita, pliamita) per _probabilists_ ĉar

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$

estas la probablodensa funkcio por la normala distribuo kun atendata valoro 0 kaj varianca devio 1.

La unua kvin (_probabilists_') Hermitaj polinomoj.

La unuaj kelkaj Hermitaj polinomoj estas:

$H_0(x)=1\,$

$H_1(x)=x\,$

$H_2(x)=x^2-1\,$

$H_3(x)=x^3-3x\,$

$H_4(x)=x^4-6x^2+3\,$

$H_5(x)=x^5-10x^3+15x\,$

$H_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15\,$

en _probabilists_' (notacio, skribmaniero), aŭ

$H_0(x)=1\,$

$H_1(x)=2x\,$

$H_2(x)=4x^2-2\,$

$H_3(x)=8x^3-12x\,$

$H_4(x)=16x^4-48x^2+12\,$

$H_5(x)=32x^5-160x^3+120x\,$

$H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120\,$

en (fizikistoj, fizikistas)' (notacio, skribmaniero).

Enhavo

1 Orteco
2 Diversaj propraĵoj
3 Ĝeneraligo
4 "Negativa varianco"
5 Rilato al la _Laguerre_ (polinomoj, polinomas)
6 Propraj funkcioj de la Konverto de Fourier
7 Kombina interpretado de la koeficientoj
8 _Edgeworth_ serio
9 Referencoj

[redaktu] Orteco

La n(th, -a) funkcio en ĉi tiu listo estas n(th, -a)-grada polinomo por n = 0, 1, 2, 3, .... Ĉi tiuj (polinomoj, polinomas) estas perpendikulara kun respekto al la peza funkcio (mezuri)

$e^{-x^2/2}\,$ (_probabilist_)

aŭ

$e^{-x^2}\,$ (fizikisto)

kio estas, ni havi

$\int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2/2}\,dx=n!\sqrt{2\pi}~\delta_{nm}$ (_probabilist_)

aŭ

$\int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2}\,dx=\frac{n!2^n}{\sqrt{\pi}}~\delta_{nm}$ (fizikisto)

kie δ_{_ij_} estas la Delto de Kronecker, kiu egalas unueco kiam n = m kaj nulo alie. Ĉi tiu estas la sama kiel (diranta, dirante) ili estas perpendikulara kun respekto al la normala probablodistribuo. Ili (formo, formi) perpendikulara bazo de la Hilberta spaco de funkcioj (veriganta, kontentiganta)

$\int_{-\infty}^\infty\left|f(x)\right|^2\,e^{-x^2/2}\,dx<\infty,$

en kiu la ena (produkto, produto) estas donita per la integrala inkluzivanta gaŭsa funkcio

$\langle f,g\rangle=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\,e^{-x^2/2}\,dx.$

[redaktu] Diversaj propraĵoj

La n(th, -a) Hermita polinomo (verigas, kontentigas) Hermita diferenciala ekvacio:

$H_n''(x)-xH_n'(x)+nH_n(x)=0.\,$

La vico de Hermitaj polinomoj ankaŭ (verigas, kontentigas) la rekursio

$H_{n+1}(x)=xH_n(x)-H_n'(x).\,$

La Hermitaj polinomoj konsistigi _Appell_ vico, kio estas, ili estas polinoma vico (veriganta, kontentiganta) la idento

$H_n'(x)=nH_{n-1}(x),\,$

aŭ ekvivalente,

$H_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^k H_{n-k}(y)$

(la ekvivalento de ĉi tiuj lasta du identoj (majo, povas) ne esti evidenta, sed ĝia pruvo estas rutino ekzerci).

Ĝi sekvas (tiu, ke, kiu) la Hermitaj polinomoj ankaŭ kontentigi la rekursieca rilato

$H_{n+1}(x)=xH_n(x)-nH_{n-1}(x).\,$

La Hermitaj polinomoj kontentigi la idento

$H_n(x)=e^{-D^2/2}x^n$

kie D prezentas diferencialado kun respekto al x, kaj la eksponenta funkcio estas interpretita per elvolvanta ĝi kiel potencoserio. Estas ne delikata (demandoj, demandas) de konverĝo de ĉi tiu serio kiam ĝi operacias sur (polinomoj, polinomas), ekde ĉiuj sed finie multaj (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) nuliĝi. La ekzisto de iu formala potencoserio g(D), kun nenula konstanta koeficiento, tia (tiu, ke, kiu) H_n(x) = g(D)xⁿ, estas alia ekvivalento al la (propozicio, frazo, ordono) (tiu, ke, kiu) ĉi tiuj (polinomoj, polinomas) (formo, formi) _Appell_ vico. Ekde ili estas _Appell_ vicaj ili estas _fortiori_ Vico de Sheffer.

Se X estas hazarda variablo kun normala distribuo kun varianca devio 1 kaj atendata valoro μ tiam

E (H n (X)) = μ n .

[redaktu] Ĝeneraligo

La Hermitaj polinomoj difinis pli supre estas perpendikulara kun respekto al la norma normala probablodistribuo

$(2\pi)^{-1/2}e^{-x^2/2}\,dx$

kiu havas atendata valoro 0 kaj varianco 1. Unu (majo, povas) paroli de Hermitaj polinomoj

$H_n^{[\alpha]}(x)$

de varianco α, kie α estas (ĉiu, iu) pozitiva nombro. Ĉi tiuj estas perpendikulara kun respekto al la normala probablodistribuo

$(2\pi\alpha)^{-1/2}e^{-x^2/(2\alpha)}\,dx.$

Ili estas donita per

$H_n^{[\alpha]}(x)=e^{-\alpha D^2/2}x^n.$

$H_n^{[\alpha]}(x)=\sum_{k=0}^n h^{[\alpha]}_{n,k}x^k$

tiam la polinoma vico kies n(th, -a) (termo, membro, flanko, termino) estas

$\left(H_n^{[\alpha]}\circ H^{[\beta]}\right)(x)=\sum_{k=0}^n h^{[\alpha]}_{n,k}\,H_k^{[\beta]}(x)$

estas la _umbral_ komponaĵo de la du polinomaj vicoj, kaj ĝi povas esti montrita al kontentigi la identoj

$\left(H_n^{[\alpha]}\circ H^{[\beta]}\right)(x)=H_n^{[\alpha+\beta]}(x)$

kaj

$H_n^{[\alpha+\beta]}(x+y)=\sum_{k=0}^n{n\choose k}H_k^{[\alpha]}(x) H_{n-k}^{[\beta]}(y).$

La lasta idento estas esprimita per (diranta, dirante) (tiu, ke, kiu) ĉi tiu parametrigita familio de polinomaj vicoj estas kruci-vico.

[redaktu] "Negativa varianco"

Ekde polinomaj vicoj ariĝi sub la operacio de _umbral_ komponaĵo, unu (majo, povas) signifi per

$H_n^{[-\alpha]}(x)$

la vica tio estas inverso al la unu simile signifita sed sen la minuso, kaj tial paroli de Hermitaj polinomoj de negativa varianco. Por α > 0, la koeficientoj de H_n^[−&α;](x) estas (justa, ĵus) la absolutaj valoroj de la (korespondanta, respektiva) koeficientoj de H_n^[α](x).

Ĉi tiuj ekesti kiel (momentoj, momentas, momantoj, momantas) de normalaj probablodistribuoj: La n(th, -a) (momanto, momento) de la normala distribuo kun atendata valoro μ kaj varianco σ² estas

$E(X^n)=H_n^{[-\sigma^2]}(\mu)$

kie X estas hazarda variablo kun la precizigis normala distribuo. Speciala okazo de la kruci-vica idento tiam diras (tiu, ke, kiu)

$\sum_{k=0}^n {n\choose k}H_k^{[\alpha]}(x) H_{n-k}^{[-\alpha]}(y)=H_n^{[0]}(x+y)=(x+y)^n.$

[redaktu] Rilato al la _Laguerre_ (polinomoj, polinomas)

La Hermitaj polinomoj povas esti esprimita kiel speciala okazo de la _Laguerre_ (polinomoj, polinomas).

[redaktu] Propraj funkcioj de la Konverto de Fourier

Uzanta (fizikistoj, fizikistas)' (notacio, skribmaniero), la funkcioj

$e^{-x^2/2}H_n(x)$

estas propraj funkcioj de la Konverto de Fourier, kun (ajgenoj, ajgenas) $- i n$ .

[redaktu] Kombina interpretado de la koeficientoj

En la Hermita polinomo H_n(x) de varianco 1, la absoluta valoro de la koeficiento de x^k estas la nombro de (neordigita) (dispartigoj, dispartigas) de n-membra aro enen k _singletons_ kaj (n − k)/2 (neordigita) (paroj, paras).

[redaktu] _Edgeworth_ serio

Hermitaj polinomoj ekesti en la teorio de _Edgeworth_ serio.

[redaktu] Referencoj

_Milton_ Abramowitz-a kaj Ireno A. _Stegun_, Gvidlibro de Matematikaj Funkcioj, (1964) Dovero (Eldonoj, Eldonas), (Nov-Jorkio, Novjorko). ISBN 486-61272-4 . (Vidi ĉapitro 22).

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Hermitaj_polinomoj_e37f.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Specialaj funkcioj | Perpendikularaj polinomoj | Specialaj supergeometriaj funkcioj