Vikipedio:Projekto matematiko/Transcenda nombro

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Transcenda nombro
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, transcenda nombro estas (ĉiu, iu) reela nombra tio estas ne algebra, tio estas, ne la solvaĵo de ne-nula polinoma ekvacio kun entjero (aŭ, ekvivalente, (racionala, racionalo)) koeficientoj. Ĝi sekvas (tiu, ke, kiu) ĉiuj transcendaj nombroj estas (malracia, malracionala). Tamen, ne ĉiuj (neracionalaj nombroj, neracionaloj) estas transcenda; √2 (la kvadrata radiko de 2) estas (malracia, malracionala), sed estas solvaĵo de la polinomo x² − 2 = 0.

La aro de ĉiuj transcendaj nombroj estas nekalkulebla. La pruvo estas simpla: Ekde la (polinomoj, polinomas) kun entjeraj koeficientoj estas numerebla, kaj ekde ĉiu tia polinomo havas finia nombro de nuloj, la aro de algebraj nombroj estas numerebla. Sed la reelaj nombroj estas nekalkulebla; (do, tiel) la aro de ĉiuj transcendaj nombroj devas ankaŭ esti nekalkulebla. En tre (reala, reela) (senso, senco), tiam, estas multaj pli transcendaj nombroj ol algebraj aĵoj. Tamen, nur kelkaj klasoj de transcendaj nombroj estas sciata kaj pruvanta (tiu, ke, kiu) donita nombro estas transcenda povas esti ege malfacila.

La ekzisto de transcendaj nombroj estis unua (pruvita, pruvis) en 1844 per Jozefo Liouville-a, kiu eksponis (ekzemploj, ekzemplas), inkluzivanta la Liouville-a konstanto:

$\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0.110001000000000000000001000....$

en kiu la n(th, -a) cifero post la dekuma punkto estas 1 se n estas faktorialo (kio estas, 1, 2, 6, 24, 120, 720, ...., kaj tiel plu) kaj 0 alie. La unua nombro al esti (pruvita, pruvis) transcenda sen havanta estas aparte konstruita al (efektivigi, atingi) ĉi tiu estis e, per Karla Hermito en 1873. En 1882, _Ferdinand_ _von_ _Lindemann_ (publikigita, publikigis) pruvo (tiu, ke, kiu) la nombro π estas transcenda. En 1874, Georg Cantor fundamenti la argumento priskribis pli supre (fundamentanta, establanta, konstruanta, fondanta) la _ubiquity_ de transcendaj nombroj.

Vidu ankaŭ jenon: _Lindemann_-Weierstrass-a teoremo.

Jen listo de iuj nombroj sciata al esti transcenda:

e^a se a estas algebra kaj nenulo. En aparta, e sin estas transcenda.

e^π _Gelfond_'s konstanto

2^{√Ŝablono:Overline}, la _Gelfond_-_Schneider_ konstanto, aŭ pli ĝenerale a^b kie a ≠ 0,1 estas algebra kaj b estas algebra sed ne (racionala, racionalo) (_Gelfond_-_Schneider_ teoremo kaj Hilberta sepa problemo).

(peko, peki)(1)

_ln_(a) se a estas pozitiva, (racionala, racionalo) kaj ≠ 1

Γ(1/3), Γ(1/4), kaj Γ(1/6) (vidi γ funkcio).

Ω, _Chaitin_'s konstanto.

2.536027081689339..., _Herkommer_ nombro

$\sum_{k=0}^\infty 10^{-\lfloor \beta^{k} \rfloor};\qquad \beta > 1\; ,$

kie $\beta\mapsto\lfloor \beta \rfloor$ estas la planka funkcio. Ekzemple se β = 2 tiam ĉi tiu nombro estas 0.11010001000000010000000000000001000…

(Ĉiu, Iu) ne-konstanta algebra funkcio de sola transcenda nombro estas ankaŭ transcenda. Tamen, algebra funkcio de kelkaj transcendaj nombroj (majo, povas) esti algebra se ili estas ne algebre sendependa: π kaj 1−π estas ambaŭ transcenda, sed π+(1−π)=1 estas evidente ne. Ĝi estas nekonato ĉu π+e, ekzemple, estas transcenda, kvankam almenaŭ unu de π+e kaj π e devas esti transcenda. Pli ĝenerale, por (ĉiu, iu) du transcendaj nombroj a kaj b, almenaŭ unu de a+b kaj b devas esti transcenda. Al vidi ĉi tiu, konsideri la polinomo (x−a) (x−b) = x² − (a+b) x + a b. Se (a+b) kaj a b estis ambaŭ algebra, tiam ĉi tiu devus esti polinomo kun algebraj koeficientoj. Ĉar algebraj nombroj (formo, formi) algebre fermita kampo, ĉi tiu devus enhavi (tiu, ke, kiu) la (radikoj, radikas) de la polinomo, kiu okazi al esti a kaj b, devas esti algebra. Sed ĉi tiu estas kontraŭdiro, kaj tial ĝi devas esti la (kesto, okazo) (tiu, ke, kiu) almenaŭ unu de la koeficientoj estis transcenda.

La malkovro de transcendaj nombroj permesis la pruvo de la neebleco de kelkaj antikva geometria (problemoj, problemas) engaĝante rektilo-kaj-(cirkelo, kompaso) konstruado; la plej fama unu, (kvadratanta, placanta, kvadratiganta) la cirklo, estas neebla ĉar π estas transcenda.

[redaktu] Pruvo (tiu, ke, kiu) $e$ estas transcenda

La unua pruvo (tiu, ke, kiu) $e$ estas transcenda (datoj, datas, rendevuoj, rendevuas, daktilarboj, daktilarbas, daktilujoj, daktilujas, daktiloj, daktas) de 1873. Ni estos nun sekvi la strategio de Davida Hilberto (1862–1943) kiu donis plisimpligo de la originala pruvo de Karla Hermito. La ideo estas jeno:

Alpreni, por celo de trovanta kontraŭdiro, (tiu, ke, kiu) $e$ estas algebra. Tiam tie ekzistas finia aro de entjeraj koeficientoj $c_{0},c_{1},\ldots,c_{n},$ ne ĉiuj egala al nulo, (veriganta, kontentiganta) la ekvacio:

$c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\ldots+c_{n}e^{n}=0$

Dependanta sur la valoro de n, ni precizigi _sufficently_ granda pozitiva entjero k (al verigi nia (bezonas, bezonoj) poste), kaj multipliki ambaŭ flankoj de la pli supre ekvacio per $\int^{\infty}_{0}$ , kie la skribmaniero $\int^{b}_{a}$ estos esti uzita en ĉi tiu pruvo kiel stenografio por la integralo:

$\int^{b}_{a}:=\int^{b}_{a}z^{k}[(z-1)(z-2)\ldots(z-n)]^{k+1}e^{-z}dz$ .

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu)

$z^{k}[(z-1)(z-2)\ldots(z-n)]^{k+1}e^{-z}$ estas la (produkto, produto) de la funkcioj $[z(z-1)(z-2)\ldots(z-n)]^{k}$ kaj $(z-1)(z-2)\ldots(z-n)e^{-z}.$

Ni havi (alvenita, veninta) je la ekvacio:

$c_{0}\int^{\infty}_{0}+c_{1}e\int^{\infty}_{0}+\ldots+c_{n}e^{n}\int^{\infty}_{0}$ = 0

kiu povas nun esti skribita en la (formo, formi) $P 1 + P 2 = 0$ kie

$P_{1}=c_{0}\int^{\infty}_{0}+c_{1}e\int^{\infty}_{1}+c_{2}e^{2}\int^{\infty}_{2}+\ldots+c_{n}e^{n}\int^{\infty}_{n}$

$P_{2}=c_{1}e\int^{1}_{0}+c_{2}e^{2}\int^{2}_{0}+\ldots+c_{n}e^{n}\int^{n}_{0}$

La plano de ataki nun estas al montri (tiu, ke, kiu) por k sufiĉe granda, la pli supre rilatoj estas neebla al kontentigi ĉar

$\frac{P_{1}}{k!}$ estas ne-nula entjero kaj $\frac{P_{2}}{k!}$ estas ne.

La fakto (tiu, ke, kiu) $\frac{P_{1}}{k!}$ estas nenulaj entjeraj rezultoj de la rilato:

$\int^{\infty}_{0}x^{k}e^{-x}=k!$

Montranta (tiu, ke, kiu)

$\left|\frac{P_{2}}{k!}\right|<1$ por sufiĉe granda k povas esti farita kun, _amongst_ aliaj aĵoj, iu simpla taksas.

Simila strategio povas kutimi montri (tiu, ke, kiu) la nombro $π$ estas transcenda. Ekster la γ-funkcio kaj iu taksas kiel en la pruvo por $e$ , (faktoj, faktas) pri simetriaj polinomoj ludi vitala rolo en la pruvo.

La originala pruvo de la _transcedence_ de $π$ unua montris (tiu, ke, kiu) $e$ al (ĉiu, iu) algebra povo estas _transcedental_, kaj ekde $e i π = - 1$ estas algebra, $i π$ kaj pro tio $π$ devas esti transcenda.

Por detalis informo koncernanta la pruvoj de la transcenda de $π$ kaj $e$ vidi la referencoj kaj ekstera (ligoj, ligas).

[redaktu] Referencoj

Davida Hilberto, "_Über_ morti _Transcendenz_ _der_ _Zahlen_ $e$ _und_ $π$ ", _Mathematische_ _Annalen_ 43:216–219 (1893).
Miĥaelo _Spivak_, Kalkulo. (Nov-Jorkio, Novjorko), Amsterdamo: W. A. Benjamen, _Inc_. (1967).

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Transcenda_nombro_d314.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Transcendaj nombroj

Vikipedio:Projekto matematiko/Transcenda nombro

El Vikipedio

[redaktu] Pruvo (tiu, ke, kiu) $e$ estas transcenda

[redaktu] Referencoj

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

Views

Navigado

Serĉu

Aliaj lingvoj

Vikipedio:Projekto matematiko/Transcenda nombro

El Vikipedio

[redaktu] Pruvo (tiu, ke, kiu) e estas transcenda

[redaktu] Referencoj

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

Views

Navigado

Serĉu

Aliaj lingvoj

[redaktu] Pruvo (tiu, ke, kiu) $e$ estas transcenda